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专题提升5三角形、四边形的证明建议用时:45分钟实际用时:实际得分:一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2012•湖北荆门)已知:直线l1∥l2,一块含30°角的直角三角板如图所示放置,∠1=25°,则∠2等于()A.30°B.35°C.40°D.45°(第1题图)(第2题图)2.(2012•深圳)如图,已知∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为()A.6B.12C.32D.643.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CEDF不可能为正方形;③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;④点C到线段EF的最大距离为2.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个(第3题图)(第4题图)4.(2012•济南)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为()A.2+1B.5C.1455D.525.(2012•广西贵港)如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别在BC、CD上,且BE=CF,连接BF、DE交于点M,延长ED到H使DH=BM,连接AM,AH,则以下四个结论:①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等边三角形;④S四边形ABCD=34AM2.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4(第5题图)(第6题图)6.如图,在□ABCD中,E是BC的中点,且∠AEC=∠DCE,则下列结论不正确的是()A.S△AFD=2S△EFBB.BF=12DFC.四边形AECD是等腰梯形D.∠AEB=∠ADC7.(2012•江苏无锡)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于()A.17B.18C.19D.208.已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,AC⊥BC,AB=8cm,则△COD的面积为()A.433cm2B.43cm2C.233cm2D.23cm2二、填空题(每小题4分,共24分)9.(2012•海南)如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是.(第9题图)(第10题图)10.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为.11.(2012•上海)我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为.12.(2012•湖北十堰)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF=.(第12题图)(第13题图)13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当AD=2,BC=12时,四边形BGEF的周长为.14.以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是.三、解答题15.(20分)(2012•浙江绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时,对课本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探索.【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:解:设点B将向外移动x米,即BB1=x,则B1C=x+0.7,A1C=AC-AA1=222.50.7-0.4=2,而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A121B得方程,解方程得x1=,x2=,∴点B将向外移动米.(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:【问题一】在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?为什么?请你解答小聪提出的这两个问题.16.(24分)(2012•青海)如图(*),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.(1)探究1:小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:证明:如图1,取AB的中点M,连接EM.∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°.又∵∠EAM+∠AEB=90°,∴∠EAM=∠FEC.∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点,∴AM=EC.又可知△BME是等腰直角三角形,∴∠AME=135°,又∵CF是正方形外角的平分线,∴∠ECF=135°,∴△AEM≌△EFC(ASA),∴AE=EF.(2)探究2:小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论.(3)探究3:小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.专题提升5三角形、四边形的证明1.【解析】∵∠3是△ADG的外角,∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°,∵l1∥l2,∴∠3=∠4=55°,∵∠4+∠EFC=90°,∴∠EFC=90°﹣55°=35°,∴∠2=35°.【答案】B2.【解析】【答案】3.【解析】①连接CD,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB;∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF;∴ED=DF,∠CDF=∠EDA;∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,∴△DFE是等腰直角三角形.故此选项正确;②当E、F分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形,故此选项错误;③如图2所示,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积,故面积保持不变;故此选项错误;④△DEF是等腰直角三角形,2DE=EF,当EF∥AB时,∵AE=CF,∴E,F分别是AC,BC的中点,故EF是△ABC的中位线,∴EF取最小值2222=22,∵CE=CF=2,∴此时点C到线段EF的最大距离为12EF=2.故此选项正确.故正确的有2个.【答案】B4.【解析】如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,∵OD≤OE+DE,∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,此时,∵AB=2,BC=1,∴OE=AE=12AB=1,DE=22ADAE=2,∴OD的最大值为2+1.【答案】A5.【解析】在菱形ABCD中,∵AB=BD,∴AB=BD=AD,∴△ABD是等边三角形,∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°,∵BE=CF,∴BC-BE=CD-CF,即CE=DF,在△BDF和△DCE中,CE=DF;∠BDF=∠C=60°;BD=CD,∴△BDF≌△DCE(SAS),故①小题正确;∴∠DBF=∠EDC,∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°,∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°,故②小题正确;∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°,∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°,∴∠DEB=∠ABM,又∵AD∥BC,∴∠ADH=∠DEB,∴∠ADH=∠ABM,在△ABM和△ADH中,AB=AD;∠ADH=∠ABM;DH=BM,∴△ABM≌△ADH(SAS),∴AH=AM,∠BAM=∠DAH,∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°,∴△AMH是等边三角形,故③小题正确;∵△ABM≌△ADH,∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积,又∵△AMH的面积=12AM·32AM=34AM2,∴S四边形ABMD=34AM2,S四边形ABCD≠S四边形ABMD,故④小题错误,综上所述,正确的是①②③共3个.【答案】C6.【解析】A、∵AD∥BC,∴△AFD∽△EFB,∴BFDF=BEAD=FEAF=12,故S△AFD=4S△EFB;B、由A中的相似比可知,BF=12DF,正确.C、由∠AEC=∠DCE可知正确;D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明.【答案】A7.【解析】∵CD的垂直平分线交BC于E,∴DE=CE,∵AD=3,AB=5,BC=9,∴四边形ABED的周长为AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17.【答案】A8.【解析】∵梯形ABCD是等腰梯形,CD∥AB,由SAS可证△DAB≌△CBA,∴∠CAB=∠DCA=30°,∵∠CAB=30°,又因为AC⊥BC,∴∠DAB=∠CBA=60°,∴∠DAC=∠DCA=30°,∴CD=AD=BC=4cm,∴AC2=AB2-BC2,∴AC=43cm,∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AC=BD=43cm,∴S△ABC=12×4×43=83cm.设DO为x,则CO=x,则AO=BO=(43-x)cm.在Rt△COB中,CO2+BC2=BO2,即:x2+42=(43-x)2,∴DO=433cm,∴S△ADO=12×433×4=833,∴S△AOB=S△ABC-S△ADO=1633.∵AB∥CD,∴△AOB∽△DOC,∴(DCAB)2=DOCAOBSS,∴S△DOC=433.故选A.【答案】9.【解析】在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO,∵DE∥BC,∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO,∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,∴OD=BD,OE=CE,∵AB=5,AC=4,∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.【答案】910.【解析】∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°.又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°,∴∠FBA=∠EAD.∵BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,∴在Rt△AFB和Rt△AED中,∵∠AFB=∠DEA=90°,∠FBA=∠EAD,AB=DA,∴△AFB≌△AED(AAS),∴AF=DE=8,BF=AE=5,∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.【答案】1311.【解析】设等边三角形的中线长为a,则其重心到对边的距离为13a,∵它们的一边重合时(图1),重心距为2,∴23a=2,解得a=3;∴当它们的一对角成对顶角时(图2)重心距=43a=43×3=4.【答案】412.【解析】过D作DK平行EF交CF于K,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠ABC=∠DCB=90°,AD=BC=4,AB=CD=2,∵AD∥BC,EF∥DK,∴DEFK为平行四边形,∴EF=DK,∵EF⊥AC,∴DK
本文标题:专题5三角形四边形的证明与计算
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