专题七不等式线性规划与参数方程

专题七不等式、线性规划与参数方程(必修5，选修4-4）一、考纲解读1．不等式（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（4）基本不等式：a2＋b22≥a＋b2≥ab(a0，b0)．①了解基本不等式的证明过程。②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。2．坐标系与参数方程①理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。③能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。④了解参数方程，了解参数的意义。⑤能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。二、考向聚焦1.考向分析（1）考查一元二次不等式、含绝对值不等式、分式不等式的解法及简单指、对数不等式的解法。（2）考查基本不等式的应用。（3）考查简单线性规划问题及其实际应用。（4）考查不等式的性质。（5）考查极坐标与直角坐标的互化和特殊位置的直线、圆的极坐标方程。（6）考查参数方程与普通方程的互化、直线和圆锥曲线参数方程的应用。2.命题规律（1）以客观题形式考查不等式的性质和解不等式与集合、函数、简易逻辑知识结合命题。（2）以客观题形式考查基本不等式的应用。（3）以客观题形式考查线性规划知识，主要是求目标函数的最值问题或求平面图形的面积。（4）不等式恒成立问题与函数、导数、数列等知识结合作为大题的一问，或将不等式有关知识分散在几个题中，间接考查，一般不单独命制大题。（5）从数形结合、转化与化归角度命制有关极坐标方程和参数方程的理解与应用的题目，难度较小。三、核心整合1．不等式的解法(1)一元二次不等式的解法(略)(2)简单分式不等式的解法------注意等价变形(3)简单指数、对数不等式的解法------注意底数、单调性2．熟记重要不等式a2＋b22≥a＋b2≥ab(a0，b0)．3．判断二元一次不等式表示的平面区域------主要看不等号与y的系数的符号是否同向，4．极坐标（1）直角坐标与极坐标的互化设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.（2）直线和圆的极坐标方程（略）5．参数方程（1）参数方程的意义（略）（2）常见曲线的参数方程的一般形式（略）四、高频考点考点一不等式的解法及基本不等式的应用1.不等式的解法[考情分析]不等式的求解尤其是一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一，几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，既可以以选择题或填空题形式考查简单不等式的求解，也可与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等内容综合在解答题中进行考查．[例1](1)(2011·辽宁高考)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)(2)(2012·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．[思路点拨](1)分x≤1和x1两种情况求解．(2)由函数的值域解定a，b的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系求解．[解析](1)当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，∴x≥0，∴0≤x≤1；当x1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1，∴x≥12，∴x1.综上知x≥0.(2)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝x＋a22.又由f(x)c，得x＋a22c，即－a2－cx－a2＋c.∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②②－①，得2c＝6，∴c＝9[类题通法](1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．训练1：【2011·江西高考】若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C法一：令f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2x＋1x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2.又因定义域为{x|x0}，故x2.法二：令f′(x)＝2x－2－4x0，由函数的定义域可排除B，D，取x＝1代入验证，可排除A，故选C.2..基本不等式的应用[考情分析]在近年的高考中，不等式的综合应用试题命制形式广泛，常以选择题、填空题的形式考查不等式的基础知识和基本应用，有时也以解答题的形式出现，考查考生综合分析问题、解决问题的能力．[例2](2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6[思路点拨]将已知条件转化为15×1y＋3x＝1，再利用基本不等式求解．[解析]∵x0，y0，由x＋3y＝5xy，得15×1y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝15×3xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×2×3xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.[答案]C[类题通法]利用基本不等式求函数最值应注意的问题：(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．训练2：【2012·陕西高考】小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为Sa，从乙地到甲地所需时间为Sb，又因为ab，所以全程的平均速度为v＝2SSa＋Sb＝2aba＋b2ab2ab＝ab，2aba＋b2ab2b＝a，即avab.考点二线性规划[考情分析]简单线性规划问题是历年高考必考的一个重点，三种题型都有，但以选择题或填空题为主，命题的重点是简单线性规划中最值问题的求解，但近几年高考命题的形式趋向多样化，如以不等式组确定平面区域为背景考查平面区域面积；已知线性规划中目标函数的最值确定参数的取值；线性约束条件下的非线性目标函数的最值．[例3](2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元[思路点拨]根据题意，列出线性约束条件及目标函数，作出可行域求其最值．[解析]设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，z＝300x＋400y.作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时，z＝300x＋400y取最大值，由x＋2y＝12，2x＋y＝12，得x＝4，y＝4，所以A(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2800.[类题通法](1)平面区域：用二元一次不等式(组)表示平面区域的具体步骤是：①画线；②定“侧”；③求“交”(交集，即公共区域)．(2)线性规划问题解题步骤：①作图——画出可行域和目标函数所表示的平行直线系中的一条l；②平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；③求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值．训练3：【2012·山东高考】设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.－32，6B.－32，－1C．[－1,6]D.－6，32解析：选A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32.线性规划问题突破近几年的高考试题并不是单纯地考查线性规划问题，而是在二元一次不等式表示的平面区域内求解非线性目标函数的最值．如区域面积型、斜率型(根据两点连线的斜率公式，把问题转化为已知的平面区域内的点与某个定点连线的斜率的范围问题)、距离型、函数型以及参数范围型，其解法都是利用数形结合．[典例](2012·福建高考)若函数y＝2x图像上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2[思路点拨]作出可行域，找出y＝2x与x＋y－3＝0的交点，从图形上直观分析即可．[解析]可行域如图中的阴影部分所示，函数y＝2x的图像经过可行域上的点，由y＝2x，x＋y－3＝0，得x＝1，y＝2，即函数y＝2x的图像与直线x＋y－3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x＝m经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1.[名师支招]由运动变化的观念让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点，求线性约束条件中的某一参数值，是逆向思维，用数形结合的思想方法，即可破解．[高考预测]已知点P(x，y)的坐标满足条件x≤1，y≤2，2x＋y－2≥0，那么x2＋y2的取值范围是()A．[1,4]B．[1,5]C.45，4D.45，5解析：选D作出不等式组x≤1，y≤2，2x＋y－2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然,原点O到直线2x＋y－2＝0的距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x2＋y2)min＝45；点(1,2)到原点O的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x2＋y2)max＝5.考点三坐标系与参数方程例4.【2012高考陕西理15】（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为.【解析】直线1cos2与圆cos2的普通方程为1)1(1222yxx和，圆心到直线的距离为21211，所以弦长为3)21(122.训练4：【2012高考广东理14】(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为1:(xtCtyt是参数）和22cos:(2sinxCy是参数），它们的交点坐标为_______.【解析】它们的交点坐标为_______(1,1)22212:(0),:2CyxyCx