专题七函数与导数问题进阶(教师版)自己总结

1专题一函数与导数常见题型及解法1.常见题型一、小题：1.函数的图象2.函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3.分段函数求函数值；4.函数的定义域、值域（最值）；5.函数的零点；6.抽象函数；二、大题：1.求曲线()yfx=在某点处的切线的方程；2.求函数的解析式3.讨论函数的单调性，求单调区间；4.求函数的极值点和极值；5.求函数的最值或值域；6.求参数的取值范围7.证明不等式；8.函数应用问题2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfxxxfx。(2)若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx不恒为0）.(5)函数()fx（非常量函数）在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。(6)()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立(7)若xI?，()fx0恒成立，则min()fx0;若xI，()fx0恒成立，则max()fx02(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0.(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D，若xD()()fxgx恒成立，则有min()()0fxgx.(10)若对11xI、22xI，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①ln1(0)xxx②ln+1(1)xxx（）③1xex④1xex⑤ln1(1)12xxxx⑥22ln11(0)22xxxx3.解题方法规律总结1.关于函数单调性的讨论：2.已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。3.注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。34.关于不等式的证明：5.关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。小题讲解：【例1】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)fxmm在区间[8,8]上有四个不同的根1234,,,xxxx，则1234_________.xxxx【例2】若1x是方程lg3xx的解，2x是310xx的解，则21xx的值为【例3】若函数()(01)xfxaxaaa且有两个零点，则实数a的取值范围是．【例4】已知偶函数()fx在区间0,)单调递增，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是（）【例5】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）一、（单调性，用到二阶导数的技巧）例一、已知函数xxfln)(⑴若)()()(RaxaxfxF，求)(xF的极大值；⑵若kxxfxG2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.4二、交点与根的分布例二、已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．例三、已知aR，函数()ln1,()(ln1),xafxxgxxexx（其中2.718e）（I）求函数()fx在区间0,e上的最小值；（II）是否存在实数00,xe，使曲线()ygx在点0xx处的切线与y轴垂直？若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由。三、不等式证明（2014泰州模拟，最值、作差构造函数）已知函数xxxf)1ln()(．(1)求函数)(xf的单调递减区间；5(2)若1x，求证：111x≤)1ln(x≤x．（2015徐州模拟转换变量，作差构造函数，较容易）已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用a表示b，并求b的最大值；⑵求证：当0x时，()()fxgx≥．变形构造证明不等式已知函数1ln()axfxaRx，（Ⅰ）求()fx的极值（Ⅱ）若ln0xkx在R上恒成立，求k的取值范围（Ⅲ）已知10x，20x且12xxe，求证1212xxxx6（2014扬州构造变形，二次）已知函数2()(1)ln1fxaxax.⑴讨论函数()fx的单调性；⑵设2a≤，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx≥.四、不等式恒成立求字母范围（恒成立之最值的直接应用）已知函数2()()xkfxxke。⑴求()fx的单调区间；⑵若对于任意的(0,)x，都有()fx≤1e，求k的取值范围.（2015宿迁模拟，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）已知函数0xbxaxxf，其中Rba,.⑴若曲线xfy在点2,2fP处切线方程为13xy,求函数xf的解析式；⑵讨论函数xf的单调性；⑶若对于任意的2,21a，不等式10xf在1,41上恒成立，求b的取值范围.7恒成立之分离常数2014扬州一模，恒成立，分离常数，二阶导数）已知函数12)(2axxexfx,（其中aR,e为自然对数的底数）.(1)当0a时,求曲线)(xfy在))0(,0(f处的切线方程；(2)当x≥1时,若关于x的不等式)(xf≥0恒成立,求实数a的取值范围.恒成立之讨论字母范围（2007全国I，利用均值，不常见）设函数()eexxfx．⑴证明：()fx的导数()2fx≥；⑵若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．