专题三第3讲推理与证明

第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案C2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.答案16考题分析具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．网络构建高频考点突破考点一：合情推理【例1】(1)(2012·武昌模拟)设fk(x)＝sin2kx＋cos2kx(x∈R)，利用三角变换，估计fk(x)在k＝1,2,3时的取值情况，对k∈N＋时推测fk(x)的取值范围是________(结果用k表示)．(2)在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________．”[审题导引](1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范围观察规律可得；(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．[规范解答](1)当k＝1，f1(x)＝sin2x＋cos2x＝1.当k＝2时，f2(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.∵0≤sin22x≤1，∴f2(x)∈12，1.当k＝3时，f3(x)＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝1－3sin2xcos2x＝1－34sin22x.∵0≤sin22x≤1，∴f3(x)∈14，1，故可推测12k－1≤fk(x)≤1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.故填V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.[答案](1)12k－1≤fk(x)≤1(2)V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r【规律总结】归纳推理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．【变式训练】1．若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有通项为bn＝a1＋a2＋…＋ann(n∈N＋)的数列{bn}也为等差数列，类比上述性质，若数列{cn}是等比数列，且cn＞0，则有通项为dn＝________(n∈N＋)的数列{dn}也是等比数列．解析∵{cn}是等比数列，且cn＞0，∴{lgcn}是等差数列，令dn＝nc1·c2·…·cn，则lgdn＝lgc1＋lgc2＋…＋lgcnn，由题意知{lgdn}为等差数列，∴dn＝nc1·c2·…·cn为等比数列．答案nc1·c2·…·cn2．平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．解析n＝2时，交点个数：f(2)＝1.n＝3时，交点个数：f(3)＝3.n＝4时，交点个数：f(4)＝6.n＝5时，交点个数：f(5)＝10.猜想归纳：f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．考点二：演绎推理【例2】求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0.[审题导引]由a、b、c为正实数，显然易得a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度、需用反证法．[规范解答](1)证必要性(直接证法)：因为a、b、c为正实数，所以a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0.所以必要性成立．(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc＞0，则它们只能是二负一正．不妨设a＜0，b＜0，c＞0，又由于ab＋bc＋ac＞0⇒a(b＋c)＋bc＞0，因为bc＜0，所以a(b＋c)＞0.①又a＜0，所以b＋c＜0.②而a＋b＋c＞0，所以a＋(b＋c)＞0.所以a＞0，与a＜0的假设矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．【规律总结】1．演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．2．适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．【变式训练】3．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤fx1＋x2＋…＋xnn，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析因为凸函数满足1n[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤fx1＋x2＋…＋xnn，(大前提)f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，(小前提)所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3fA＋B＋C3，(结论)即sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332.因此sinA＋sinB＋sinC的最大值是332.考点三：数学归纳法【例3】设数列{an}的前n项和为Sn，且S2n－(an＋2)Sn＋1＝0,1－Sn＝anbn(n∈N＋)．(1)求a1，a2的值和数列{an}的通项公式；(2)若正项数列{cn}满足：cn≤a1＋bn－1a(n∈N＋，0＜a＜1)，求证：∑nk＝1ckk＋1＜1.[审题导引](1)由于S2n－(an＋2)Sn＋1＝0中含有S2n，通过升降角标的方法无法把Sn转化为an，这样就需要把an转化为Sn－Sn－1(n≥2)，通过探求Sn，然后根据求得的Sn求{an}的通项公式；(2)根据(1)求得的结果，根据ckk＋1的结构确定放缩的方法求证．[规范解答](1)S21－(a1＋2)S1＋1＝0⇒a1＝12，S22－(a2＋2)S2＋1＝0⇒a2＝16.S2n－(an＋2)Sn＋1＝0，①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入①式，得SnSn－1－2Sn＋1＝0，②又由S1＝12，S2＝a1＋a2＝23，S3＝12－S2＝34.猜想Sn＝nn＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k时，Sk＝kk＋1，则n＝k＋1时，Sk＋1Sk－2Sk＋1＋1＝0，Sk＋1＝12－kk＋1＝k＋1k＋1＋1成立．综合①②，可知猜想成立．所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1nn＋1，当n＝1时也满足，故an＝1nn＋1(n∈N＋)．(2)证明由(1)，得bn＝n，cn≤a1＋n－1a＝11a＋n－1＜1n，则∑nk＝1ckk＋1＜∑nk＝11kk＋1＝1－1n＋1＜1.【规律总结】使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k＋1时命题变化的情况．【变式训练】4．(2012·青岛二模)已知集合A＝{x|x＝－2n－1，n∈N＋}，B＝{x|x＝－6n＋3，n∈N＋}，设Sn是等差数列{an}的前n项和，若{an}的任一项an∈A∩B且首项a1是A∩B中的最大数，－750＜S10＜－300.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝13922nan令Tn＝24(b2＋b4＋b6＋…b2n)，试比较Tn与48n2n＋1的大小．解析(1)根据题设可得：集合A中所有的元素可以组成以－3为首项，－2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列．由此可得，对任意的n∈N＋，有A∩B＝B，A∩B中的最大数为－3，即a1＝－3，设等差数列{an}的公差为d，则an＝－3＋(n－1)d，S10＝10a1＋a102＝45d－30，∵－750＜S10＜－300，∴－750＜45d－30＜－300，即－16＜d＜－6，由于B中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列，所以d＝－6m(m∈Z，m≠0)，由－16＜－6m＜－6⇒m＝2，所以d＝－12，所以数列{an}的通项公式为an＝9－12n(n∈N＋)．(2)bn＝13922nan＝22n，Tn＝24(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝24×121－12n1－12＝241－12n，Tn－48n2n＋1＝24－242n－48n2n＋1＝242n－2n－12n2n＋1，于是确定Tn与48n2n＋1的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1，…可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：证法一①当n＝3时，由上验算可知成立．②假设n＝k时，2k＞2k＋1，则2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时猜想也成立．根据①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1，∴当n＝1,2时，Tn＜48n2n＋1，当n≥3时，Tn＞48n2n＋1.证法二当n≥3时，2n＝(1＋1)n＝C0n＋C1n＋…＋Cn－1n＋Cnn≥C0n＋C1n＋Cn－1n＋Cnn＝2n＋2＞2n＋1，∴当n＝1,2时，Tn＜48n2n＋1，当n≥3时，Tn＞48n2n＋1.名师押题高考【押题1】已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个整数对是A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)解析依题意，就每组整数对的