一阶常微分方程

摘要：本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中。用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解。本文就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总结,作为对此问题的一些探索.定义：微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值，一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题,能用这种方法求解的微分方程称为可积方程；一阶微分方程的一般形式为：0,,yyxf一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形：ttxfdtdx,其中x是要解的未知函数t是函数的自变量，f是一个已知的连续函数。微分方程的解：若把某函数带入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解。通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。特解：在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为特解初始条件：给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件。1.分离变量法：形如：)()(yxfdxdy的方程，称为变量可分离方程，其中)(xf和)(y分别是yx,的连续函数。以微分形式出现的变量分离方程，形如：xbtadtdx则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量t相关，另一个则只与未知函数x相关以微分形式出现的变量分离方程，形如0dyyxpdxynxm可化为dxxfdyyg)()(的形式，则该微分方程称为可分离变量的微分方程两边积分，得dxxfdyyg)()(，设函数)(yg和xf分别为)(xf的原函数。则微分方程的通解为：cxfyg例1.1xydxdy解：当0y时，有)(2ln2为常数ccxy有ydy两边积分得到)(2ln2为常数ccxy所以212xecy0y显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为212xecy)(为常数c2.积分因子法：如果方程0,,dttxdxtxp中的函数p和不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数μ，使得：txdudtyxtxdxtxptx,,,,,这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。例1.2求解方程0)3()6(322dyxyxdxyyx解：22y6pyx,xyxQ33,则可得：yxxQ29xyxQyP215.取xxf)(，2)(yyg.则有xyyyxyxyxyxdydgPfdxdfQgxQyP2)6()3(1522232yx21从而由定理知方程有积分因子yxyxu21),(文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．3.齐次方程解法：定义：形如xydxdy的方程叫做齐次方程.特点：右端能化为以xy为内函数的复合函数。解法:令xyuxuy则,dxduxudxdy代入原方程得：udxduxu，分离变量:xdxuudu)(两边积分得：xdxuudu)(积分后再用xy代替便得原方程的通解.例1.3解微分方程：xyxyytan解:令xyuuxuy则代入原方程得：uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得：,lnlnsinlnCxu故原方程的通解为Cxxysin(C为任意常数)(当0c时,0y也是方程的解)4．常数变易法：一阶线性微分方程,xQyxPdxdy其中xQxP,在考虑的区间上是x的连续函数,若Q0x,变为,yxPdxdy称为一阶齐次线性微分方程,若,0xQ称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为,dxxPcey这里c是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待定函数,使它满足方程,从而求出,xc为此，令,dxxPexcy微分之,得到.dxxPdxxPexPxcedxxdcdxdy以代入得到,xQexcxPexPxcedxxdcdxxPdxxPdxxP即,dxxPexQdxxdc积分后得到,1cdxexQxcdxxP这里1c是任意常数。将代入得到1cdxexQeydxxPdxxP这就是方程的通解。例1.4求微分方程0dx1x2xydyx2满足初始条件01y的解解：212xxyxdxdy,2)(xxP,1)(2xxxQCdxexxeydxxdxx2221Cdxexxexxln22ln21.21122Cxxx把初始条件01y代入上式，得21c故所求方程的特解为.xxy2211215.贝努力方程解法形如nyxQyxPdxdy)()(,解法：令nyu1，有dyyndun)1(，代入得到：)()1()()1(xQnuxPndxdu，例1.5.26xyxydxdy解：令1yu，有dyydu2，代入得到xuxdxdu6则xxQxxP)(,6)(，有6)()(xexdxxP，)(,8][)(6266为常数CxCxCxdxxxxu，把u代入得到)(,8162为常数CxCxy.总结：以上总结了几类可用变量分离法求解的一阶常微分方程,其实常微分方程就形式种类而言多不胜举,在涉及具体的常微分方程求解问题时应本着抓住特点、拓宽思路、灵活处理的原则,找出解题的切入点,逐步推进,一举突破。参考文献王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.高等教育出版社，第三版.2006年.ISBN9787040193664.[1]石瑞青，闫晓红，郭红建，等．常微分方程全程导学及习题全解[M]．北京：中国时代经济出版社，2009．常微分方程第二版，东北师范大学微分方程教研室，北京高等教育出版社2005.4（2011.12重印）