一阶常微分方程初等解法

-1-一阶常微分方程初等解法摘要:本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.关键词:一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子First-orderDifferentialEquationWithThePirmaryMethodForNalysisAbstract:Basedonthefirst-orderdifferentialequationsoftheelementarysolutionoftheinductionandconclusion,andtheseparationofvariables,integratingfactor,equations,etc.summaryanalysisofvariouselementarysolution,combinedwithexamplestheproblemofsolvingordinarydifferentialequationsintointegralontheproblemsolving.KeyWords:First-orderdifferentialequation;caindeclinedequations;variabletransformation;appropriatedifferentialequation;integratingfactor1.预备知识1.1变量分离方程形如()()dyfxydx(1)的方程，称为变量分离方程，()fx，()y分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y，我们可将(1)改写成()()dyfxdxy，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyfxdxcy，c为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)yyxc就是常微分方程(1)的解．-2-1.2积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．如果存在连续可微函数,0xy，使得,,,,0xyMxydxxyNxydy为一恰当微分方程，即存在函数u，使MdxNdydu，则称,xy为方程,,0MxydxNxydy的积分因子．函数,xy为,,0MxydxNxydy积分因子的充要条件是()()MNyx，即()MNNMxyyx．假设原方程存在只与x有关的积分因子x，则0x，则为原方程的积分因子的充要条件是()MNxyx，即()MNyxxN仅是关于x的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为xdxe．同样有只与y有关的积分因子的充要条件是()MNyxyM是仅为y的函数，此时可求得方程(11)的一个积分因子为ydye1.3恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程,,0MxydxNxydy(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数,uxy的全微分，即-3-,,,uuMxydxNxydyduxydxdyxy则称(11)为恰当微分方程．对于一阶微分方程,,0MxydxNxydy，若有MNyx，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把,uMxyx看作只关于自变量x的函数，对它积分可得,uMxydxy，由此式可得,dyuMxydxxxdy，又因为有,uNxyx，故,dyNMxydxdyx，对该式积分可得,yNMxydxdyx，将该式代入，得恰当微分方程的通解为,,MxydxNMxydxdycx．2.基本方法2.1一般变量分离形如()()dyfxydx(1)的方程，称为变量分离方程，()fx，()y分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．-4-如果()0y，我们可将(1)改写成()()dyfxdxy，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyfxdxcy，c为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)yyxc就是常微分方程(1)的解．2.2齐次微分方程2.2.1齐次微分方程类型一一阶线性微分方程,xQyxPdxdy其中xQxP,在考虑的区间上是x的连续函数,若Q0x,变为,yxPdxdy称为一阶齐次线性微分方程,若,0xQ称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为,dxxPcey这里c是任意常数.2.2.2齐次微分方程类型二有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:1021cc的情形这时，有dxdyybxaybxa2211xygxybaxyba2211因此,只要作变换xyu,则方程就转化为变量分离方程.-5-22121bbaak的情形.这时方程可写为.22222122ybxafcybxacybxakdxdy令uybxa22,则方程化为.22ufbadxdu这是变量分离方程.32121bbaa及21,cc不全为零的情形因为方程右端分子,分母都是yx,的一次多项式,因此.0,0222111cybxacybxa代表Oxy平面上两条相交的直线,设交点为,,若令,,yYxX则化为,0,02211ybxaybxa从而变为.2211XYgYbXaYbXadXdY因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解.2.3常数变易法一阶线性微分方程,xQyxPdxdy其中xQxP,在考虑的区间上是x的连续函数,若Q0x,变为-6-,yxPdxdy称为一阶齐次线性微分方程,若,0xQ称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为,dxxPcey这里c是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待定函数,使它满足方程,从而求出,xc为此,令,dxxPexcy微分之,得到.dxxPdxxPexPxcedxxdcdxdy以代入得到,xQexcxPexPxcedxxdcdxxPdxxPdxxP即,dxxPexQdxxdc积分后得到,1cdxexQxcdxxP这里1c是任意常数.将代入得到.1cdxexQeydxxPdxxP这就是方程的通解.3.基本方法的应用3.1.一般变量分离应用举例3.1.1应用举例-7-例1求解方程dxdyxy解将变量分离，得到xdxydy两边积分，即得22222cxy因而，通解为cyx22这里c是任意正常数，或者解出y，写出显函数形式的解2xcy3.1.2应用举例例2求解方程yxpdxdy)()3.2(的通解，其中是)(xpx的连续函数解将变量分离，得到dxxpydy)(两边积分，即得cdxxpy~)(||ln这里c~是任意常数。由对数定义，既有cdxxpey~)(||，即dxxpceey)(~令cec~，得到dxxpcey)()4.2(-8-此外，0y显然也是方程)3.2(的解，如果允许)4.2(中允许0c则0y也就包括在)4.2(中，因而)3.2(的通解为)4.2(，其中c为任意常数。3.2齐次微分方程应用3.2.1类型一应用举例例1求解方程xyxydxdytan解这是齐次微分方程，以udxduxdxdyuxy及代入，则原方程变为,tanuuudxdux即xudxdutan)9.2(将上式分离变量，既有,cotxdxudu两边积分，得到cxu~||ln|sin|ln这里c~是任意常数，整理后，得到usin=,~xecce~得到cxusin此外，方程)9.2(还有解0tanu如果在)9.2(中允许0c，则0tanu也就包括在)10.2(中，这就是说，方程)9.2(的通解为)10.2(带回原来的变量，得到方程的通解为.sincxxy3.2.2类型一应用举例例2求解方程yxydxdyx2（0x）解将方程改写为-9-xyxydxdy2这是齐次微分方程.以udxduxdxdyuxy及代入，则原方程变为.2udxdux)11.2(分离变量，得到,2xdxudu两边积分，得到)11.2(的通解.)ln(cxu即当0)ln(cx时，2])[ln(cxu这里c时任意常数.此外，方程)11.2(还有解.0u注意，此解并不包括在通解)11.2(中.代回原来的变量，即得原方程的通解为.])[ln(2cxxy当0)ln(cx及0y.3.2.3类型二应用举例例3求解方程22dyxxyydx．解方程可化为2()dyyydxxx，令yux，将dyduxudxdx代入上式，可得2duxudx，易知0u是上式的一个解，从而0y为原方程的一个解．当0u时，分离变量得2dudxux，两边积分得1lnuxc，故可得原方程的通解为lnxyxc．-10-3.2.4类型二应用举例例4求解方程111dydxxy.解令1uxy,则有1yux,代入所求方程111duxdxu,整理可得1dudxu,由变量分离得22uxc,故所求方程的解为212xyxc.3.2.5类型二应用举例例5求解方程31yxyxdxdy解解方程组0301yxyx得.2,1yx令11YyXx代入上式方程，则有YXYXdXdY再令,uXYXYu即则上式可化为,2112duuuuXdXcuuX~|12|lnln22-11-因此ceuuX~22)12(记,1~cec并带回原变量，得.)1()2)(1(2)2(,2122122cxyxycYXYY此外容易验证,0122uu即,0222XXYY也是方程的解，因此方程的通解为,26222cxyxxyy其中c为任意的常数.3.3利用积分因子求解例6求解方程.0)(dyxyydx解这里,1,1,,XNyMxyNyM方程不是恰当的。因为yyM2只与y有关，故方程有只与y的积分因子2||ln221yeeuyy以21yu乘方程两边，得到0112yxdydyydxy或者写成02ydyyxdyydx-12-因而通解为.||lncyyx3.4利用恰当微分方程求解例7求解方程.0)1()1(cos2dyyxydxyx解因为221,1yxNyyM，故方程是恰当微分方程。把方程重新分项组合，得到.0)1()1(cos2dyyxydxyx，即,0||lnsin2yxdyydxydxd或者写成.0)||ln(sinyxyxd于是，方程的通解为,||lnsincyxyx这里c