七年级教学渗透数学思想方法例谈

七年级教学渗透数学思想方法例谈湖北熊志新向其智表示函数的常见方法有三种：表格、图形和关系式。我们经常在数学思想方法中谈到的寻找规律、应用题的表格分析法、数形结合思想等，都是函数思想的细化。这里探讨一下北师大版七年级上册数学教材中的一些问题以及习题如何从函数的思想角度进行处理。图形部分点线面数的关系从小学数学过渡到初中数学，学习内容、研究方法，都是个转折，尤其是数学思想认识上更是一个质的飞跃。数学知识重在培养学生思维能力，数学思想对培养学生的思维能力又至关重要。新教材对数学思想的体现更明显，这些数学思想在学生今后的数学学习中又将不断地运用。用数学眼光看待问题，建立用数学思想解决数学问题，是学习数学的最高境界。因此，从七年级一开始将数学思想方法不断地渗透于教学中显得尤为重要，它将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。结合七年级数学下册的教学浅谈如下几种数学思想方法的渗透。一、化归转化思想即将所要研究和解决的问题，通过变形、变换、转化为已经解决过的问题上来处理的一种数学思想。例1如图1，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A180B150C135D120图321EDCBA图2图121ABCDEOEDCBA思维指导求多个角的度数问题，我们可以联想三角形内角和定理，将所求角转化到一个或数个三角形中来求解，其中的关键是通过作辅助线构造三角形。解：如图2,是图案画成的几何图形。连结CD，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180，即∠A+∠ACE+∠2+∠1+∠ADB=180。因为∠B+∠E=∠EOD=∠1+∠2，所以∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+（∠B+∠E）=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=180注本题的巧妙之处在于构造△ACD，把所求的五个角的和通过∠EOD转化为∠B+∠E=∠1+∠2，从而利用三角形内角和定理进行解答。例2一个零件的形状如图3所示，按规定∠BAC=90，∠B=21，∠C=20，检验工人量得∠BDC=130，就断定这个零件不合格，运用所学知识说明零件不合格的理由。思维指导依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把实际问题转化为三角形知识来解，关键是通过转化建立起数学模型。解：依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，连结AD并延长到E点，有∠CDE=∠C+∠1，∠BDE=∠B+∠2，所以∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2，即∠BDC=∠C+∠B+∠CAB。若零件合格，则有∠BDC=90+20+21=131，所以零件不合格。注本题把实际问题与所学的三角形知识很好地结合起来。二、分类讨论思想在人的生活中，存在很多分类的事件。数学问题的研究中，也一样存在，根据问题的特点把它分为若干情形，有利问题的研究和解决，这就是数学分类的思想。新教材中的分类思想在各节中都在不断加强。如实数可进行如下分类：1、按实数的定义分类：实数无理数分数整数有理数2、按实数的性质分类：实数负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数0因此在化简、计算有关实数的问题时，应注意分类讨论。例3计算：xx31。思维指导因无法知道x的大小而不能去掉绝对值的符号，因此，在这里借助各绝对值为零的“零值点”来进行分段讨论，以达到去掉绝对值符号的目的。解：当01x，03x时，1x，3x。在数轴上表示-1和3的点把数轴分为了三段二点，因此，⑴当x＜-1时，原式=-(x+1)+(3-x)=-x-1+3-x=-2x+2；⑵当-1≤x＜3时，原式=x+1+3-x=4；⑶当x≥3时，原式=x+1-（3-x）=x+1-3+x=2x-2。注对于含有绝对值的算式的计算、化简等，都必须取各个绝对值为零时的“零值点”，把数轴分成几个部分，对每一部分的取值进行分类计算、化简，求得在各部分的值或算式。例4已知：x=3，y=7，求x+y=___________。思维指导此题虽然能求出x、y的值，但各有两个数值，学生往往只注重将正值与正值，负值与负值相组合，而遗漏正与负或负与正的组合。解：∵x=3，y=7，∴x=±3，y=±7当x=3，y=7时，x+y=10；当x=-3，y=-7时，x+y=-10；当x=3，y=-7时，x+y=-4；当x=-3，y=7时，x+y=4注应用分类讨论思想解题，可化整为零，化大为小；解题时，分类标准要统一，答案既不重复也不遗漏。三、数形结合思想即利用数量关系来研究图形性质，或利用图形性质来研究数量关系的一种数与形相互转化的解题数学思想。如在学习无理数后，有理数扩展到了实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，任何一个实数都能用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，抽象的“数”转化为具体的“形（点）”，观察“形”的特点，就可以得到“数”的性质。比如表示2的点和表示-2的点到原点的距离相等，因此2和-2是互为相反的数，它们的绝对值相等，借助于数轴就可以解答一些比较抽象的问题。例5已知a＜0，b＞0，且a+b＜0，则a、b、-a、-b的大小关系是___________。分析：直接比较大小相当困难，利用数轴先标出a、b两个数的相对位置，再利用绝对值的意义标出a、-b的位置，如图4，就可以清楚地看出a、b、-a、-b的大小关系是：a＜-b＜b＜-a。本题利用数轴比较有理数大小，既做到了数形结合，又沟通了有理数间的知识联系，因而利于激发学生的学习兴趣，有利于提高能力。注本题利用数轴比较有理数大小，既做到了数形结合，又沟通了有理数间的知识联系，因而利于激发学生的学习兴趣，有利于提高能力。例63个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其它所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？4个球队呢？5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式。思维指导如图5，将每个球队看作一个点，两个球队间只有一场比赛，即在对应的两点间连一条线，则由条件知，每两点都要作一条连线，且两点间刚好有一条连线，如图5中图形的边数即为球队进行单循环比赛的场数。图6OnO3O2O1A图5五个队四个队È三个队Ó解：显见：3个球队单循环比赛的场数就是三角形的边数，即3场；4个球队单循环比赛的场数就是四边形的边数加对角线的条数，即62)34(44（场）（其中2)34(4为四边形的对角线条数，因为从每一个顶点出发的对角线都有（4-3）条，所以4个顶点共有)34(4条，而其中每一条都重复了一次，这样四边形的所有对角线就有2)34(4条）；5个球队单循环比赛的场数就是五边形的边数加对角线的条数，即102)35(55（场）。按照这样的思路，如果有m个球队，它参加单循环比赛的场数就是m边形的边数加对角线的条数，即2123mmmmmn（场）。注解决本题的思想方法实质上是图证思想———通过研究点、边组成的图形的性质来得出事物的关系，这里图是解决问题的关键。四、整体思想所谓“整体思想”就是指在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后，得出结论。图40-bb-aa例7计算：20041312120051312112004131211200513121。思维指导在数据较多的情况下，相同的数可以看作一个整体，进行整体换元。解：设200513121a，200413121b，则原式=baba11=20051baabbaba。注用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。例8甲、乙、丙三种商品，若购甲种4件、乙种7件、丙种1件共需36元，若购甲种5件、乙种8件、丙种2件共需45元，若购甲、乙、丙商品各一件，共需多少元？思维指导解这道应用题，若按常规思维设未知数列方程组来求解，显然有三个未知数，只有两个方程。它属于不定方程组，三个未知数的值不唯一确定，看似无法求出，实则不然，若把提出的问题“若购甲、乙、丙商品各一件，共需多少元？”看作一个整体的未知数去求，将会柳暗花明又一村。解：设购甲一件需x元，乙一件需y元，丙一件需z元。根据题意，得)2(,45285)1(,3674zyxzyx变形得)4(,45)(263)3(,3663zyxyxzyxyx（4）-（3）得9zyx（元）。注在用常规的解法无法解决问题时，不妨将所求问题视为一个整体，将问题中的条件与这一整体充分地协调，则可使问题顺利解决。例9桌面上有许多大小不等的圆纸片交错地叠在一起，但每个圆的圆心都不在其它圆的圆内，用一根尖针去刺纸片，问尖针一下子最多能刺到几张纸片？为什么？思维指导此问题看上去无从下手，用常规的方法较难解出，我们不妨将针尖这一点和若干个圆的圆心看作一个整体，则可解出。解：设最多能刺到n张纸片，它们的圆心分别为nOOO,,,21，半径为nrrr,,,21，针尖为A点。如图6所示,分别连接.,,,,,,,1322121OOOOOOAOAOAOnn∵针尖刺在圆形纸片上，∴.,,,2211nnrAOrAOrAO又∵每个圆的圆心都必须不在其它圆的内部，∴.,,112121nnrrOOrrOO及大于及大于即,,,112121AOAOOOAOAOOOnn及大于及大于∴.60,,60121AOOAOOn又∵,36013221AOOAOOAOOn∴.6n即最多能刺到5张纸片。注在用整体思想解题时，应先考虑问题的性质和条件，利用整体思想对已有的结构进行有目的变形，再深入认识新结构中各元素的作用，从而找到解决问题的途径。新教材中无处不体现出培养学生用数学思想方法去解决现实中的许多实际问题的能力，作为新教材的实施者——教师，在教学中应把握数学思想，用好新教材，引导学生学会思考问题，学会探索问题，学会归纳、总结，以达到提高解决问题的能力。