一轮复习第二章基本初等函数导数及其应用24函数的奇偶性与周期性课时规范训练

1第二章基本初等函数、导数及其应用2.4函数的奇偶性与周期性课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝1＋x2B．y＝x＋1xC．y＝2x＋12xD．y＝x＋ex解析：A选项定义域为R，由于f(－x)＝1＋－x2＝1＋x2＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋12－x＝12x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝1ex－x，所以是非奇非偶函数．答案：D2．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x10，则()A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵fx2－fx1x2－x10(x1，x2∈[0，＋∞))，∴f(x)是[0，＋∞)上的增函数，∴f(1)f(2)＝f(－2)f(3)．答案：B3．(2014·高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．2∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C4．(2015·高考课标卷Ⅱ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.答案：15．函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)＝x＋1，则当x0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x0时，f(x)＝x＋1，∴当x0时，－x0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－16．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.解析：由g(x)＝f(x)＋9，故g(－2)＝f(－2)＋9＝3，∴f(－2)＝－6.又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－6，∴f(2)＝6.答案：67．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．解：由f(m)＋f(m－1)0，得f(m)－f(m－1)，即f(1－m)f(m)．又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，1－mm，即－1≤m≤3，－2≤m≤2，m12，解得－1≤m12.8．(2016·辽宁大连质检)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x23∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)2⇔f(|x－1|)f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0|x－1|16，解得－15x17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15x17且x≠1}．[B级能力突破]1．(2014·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12解析：∵f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又f23π6＝f4π－π6＝f－π6，f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6，4∴f5π6＝f－π6－12.∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，∴f23π6＝f－π6＝12.故选A.答案：A2．(2015·高考山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.答案：C3．(2016·辽宁五校联考)规定[x]表示不超过x的最大整数，f(x)＝2－x－2，x∈－∞，x－[x]，x∈[0，＋，若方程f(x)＝ax＋1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是()A.－1，－12B.－12，－13C.－13，－14D.－14，－15解析：将方程f(x)＝ax＋1有且仅有四个实数根的问题转化为分析两个函数y＝f(x)，y＝ax＋1的图像交点问题．当x∈[0，＋∞)时，f(x)是以1为周期的函数，且f(x)＝x－k，x∈[k，k＋1)(k∈N)，当x∈(－∞，0)时，f(x)是指数型函数，将y＝12x的图像向下平移2个单位，则过点(0，－1)，如图所示，而y＝ax＋1为恒过定点(0,1)，斜率为a的直线．由图可知，当直线介于图中两条直线l1，l2之间时满足题意．显然直线l1与函数图像的5交点个数为4，直线l2与函数图像的交点个数为5，又k1＝－12，k2＝－13，故实数a的取值范围为－12，－13.答案：B4．(2016·荆门调研)定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2016)＝2016，则f(2028)＝__________.解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，则函数f(x)是以12为周期的函数．∵f(2016)＝2016，∴f(2028)＝f(2028－12)＝f(2016)＝2016.答案：20165．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴图像关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图像如图所示，由f(x－1)0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.答案：(－1,3)6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为________．①f(4)＝0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图像关于x＝1对称；④f(x)的图像关于x＝2对称．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4，②正确．∴f(4)＝f(0)＝0(∵f(x)为奇函数)，即①正确，又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图像关于x＝1对称，∴③正确，6又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图像不关于x＝2对称，∴④错误．答案：①②③7．(2016·广东湛江月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)求f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)的值．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1，f(4)＝0.又f(x)是周期为4的函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝0.∴f(0)＋f(1)＋…＋f(2016)＝0.