《间接证明》教学设计

1学科：数学年级：高一教材：学校：江苏省羊尖高级中学作者：夏晓静《间接证明》教学设计知识背景：教材在紧接着直接证明开展了本节内容，实际是要求学生能够根据不同的题目类型采取不一样的证明方法。感受不同证明方法的逻辑性，体会逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，从而有助于发展学生的数学思维能力，形成理性思维和科学精神。教材分析：历年高考中都要考察证明，以考察综合法为主，有时也考察到反证法，涉及立体几何，解析几何，不等式，方程等知识，因此把握好反证法这种证明方法的思考过程和步骤是关键。教材在接着直接证明安排了间接证明的内容，主要是在两种证法的比较之下学生更好的比较学习、更好的理解间接证明的逻辑依据和证明步骤。教材内容从定义——逻辑依据——证明步骤——例题分析。符合学生的学习习惯思维。教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。2过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：理解反证法的思考过程、特点教学难点：反证法的思考过程、特点，归谬的过程教具准备：与教材内容相关的资料。教学过程：1.情境设置（配合幻灯片讲述）（1）古时候，王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”（2）2000多年前，亚里士多德认为：物体自由下落时，重的比轻的快。16世纪末，伽利略用下面的思想实验反驳了亚里士多得的结论。假设亚里士多德的结论是正确的。现在有两个重量不同的物体A与B,A比B重。则A下落得比B快。如果把A和B栓一起（记为A+B），B会把A+B下落得速度拖慢。因此，A+B下落的速度应该比A慢。另一方面，因为A+B比B重，按照亚里士多德的理论，A+B3的下落速度比A快。这样就产生了矛盾。因而亚里士多德的理论是错误的。（以问题2为例）问题设置1：伽利略是怎样驳斥亚里士多德的论断的？问题设置2：能否将这种方法用在数学的命题证明中呢？设计意图：学生的学习效果与学生的学习动机、学习兴趣有非常直接的关系。所以通过实例引出间接证明，既加深了学生对间接证明的映像，同时也为后面理解间接证明的逻辑依据做好了铺垫。2.学生活动：在长方体1111DCBAABCD中，证明111BA与AC是异面直线问题设置：请同学回忆一下异面直线的定义是什么？分析：由于定义所知证明异面直线需证明此两条直线不同在任何一个平面中，直接证明不可完成。故正难则反：先假设111BA与AC共面，由于经过点111BA和直线C的平面只能有一个（即面1111DCBA）,所以直线111BA与AC都应在平面1111DCBA内，于是点A在平面内1111DCBA，这与点A在平面1111DCBA外矛盾。因此，假设不成立，111BA与AC是异面直线。设计意图：在学习立体几何中证明异面直线时，其实已经介绍过反证法，只是没有系统讲解，将此问题设计于此，一方面让学生在回顾以D1C1B1A1DCBA4前知识的同时实现新旧知识的统一，另一方面，“正难则反”这种思维方式在高中数学的各个章节中都有涉及到，最重要的是为学生自己总结反证法的证明步骤做好铺垫。3.建构数学：（1）间接证明，（2）反证法：上述证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明。反证法是一种常用的间接证明的方法。4.学生活动：讨论问题：（1）反证法可分为几个步骤？（反设，归谬，存真）（2）每个步骤在证明中起到了怎样的作用？（略）（3）能给出反证法的证明过程示意图吗？（肯定条件p并否定结论q——导致逻辑矛盾——p且非q为假——若p则q为真）（4）你能举出一个可以用反证法证明命题的例子吗？（教材P83练习3）设计意图：问题（1）（2）（3）希望学生自行归纳反证法的证明步骤，锻炼其综合概括能力；问题（4）是提高学生的应用能力，也培养学生对需要用反证法来证明的命题产生“敏感”反映。并总结这类命题的一般“形式特征”，以便学生灵活运用。5.数学应用：例1.证明：2不是有理数证明：假设2是有理数，则可设2=pq，其中qp,为互素的整数——反设5两边平方变形得：222qp说明2q是2的倍数，从而q也必是2的倍数。这样又可以设)(2*Nllq代入222qp整理后得222lp表明2p是2的倍数从而p也必是2的倍数。这样，qp,都是2的倍数，他们有公约数2，这与qp,为互素的假设相矛盾。————————————归谬假设不成立，原命题得证。—————————————————存真例2求证：正弦函数没有比2小的正周期证：假设T是正弦函数的周期，且20T，则对任意实数x都有矛盾。这与都有从而对任意实数故又即得成立。令2sin)2sin(,sin)sin(T,20.,,0sin,0sin)sin(xxxTZkkTTxxTx所以，假设不成立，正弦函数没有比2小的正周期设计意图：通过这两个例题帮助学生总结一下三点：（1）要反证法证明的命题本身往往带有“没有、不是”等否定关键词。（2）证法除了在步骤格式上严格要求外，真正的核心在于“归谬”。这也是反证法证明命题的难点。（3）“归谬”的常见几种形式：和定理、公理矛盾；和题目条件相矛盾；和假设相矛盾等。6.回顾与小结：以问题的形式呈现6（1）怎样的证明方法叫间接证明？（2）反证法与间接证明的关系？（3）反证法的证明步骤是怎样的？7.作业布置：教科书P844,58．板书设计：2.2.2间接证明间接证明：┅证明长方体┅例2证明：正弦函数┅反证法：┅┅┅反证法的步骤：┅9.教学反思这节课结合教材内容，教学目标以及学生认知水平，重在让学生了解间接证明中反证法的思想，所以就典型的例题分析再分析，本着重视探究、重视交流、重视过程的课改理念，让学生经历“创设情境——了解探究——归纳总结”的活动过程,体验参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力,成为知识的积极主动的建构者。