《高等工程数学》科学版习题答案(第三章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）（此习题答案仅供学员作业时参考。因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！）（联系地址：[e-mail]）P501．自己验证范数的三个条件2．自己验证范数的三个条件3．（1）122222212111121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||||(11)||nnnnnkkijkkkijknkkTnxxxxCxxxxxxxCauchySchwartzxxxIIxnxIRx设，，...，，则有－－(*)另由不等式，有－－(**)其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：212||||||||||xnx(（2）121111211111()||||max||||||||()||max||||||||max||||||||||||||||nnnkkknknikknnikknixxxxCxxxxxxxxxxxxnxnxxxnx设，，...，，则有－－(*)另外对，，...，的任一分量有所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：（3）1222211112122211()||||max||max||||||||()||max||||||||max||||||||nnnkkkknknknikknnkkknkxxxxCxxxxxxxxxxxxxnxnxx设，，...，，则有－－(*)因对，，...，的任一分量有所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：2||||||||xnx4．已知1321iAi试求第12||||||||||||AAAA，，，（）解：12222||||max{22}||||max{32}121365531215511655||176650(16)(1)5511||||413||(1)162421(HHAAiiiAAiiiiIAAiAiIAi，3+23+2，2+23+2因所以2416)152A5．证明：(1)211HUUUIIU因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以(2)222222)))))HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHUUUIUAUAAUUAAAUAAAUAUUAAUUAAUAAAUAUAUAUAUUAUUAUUAUUAAUAAUAUUAUUAUA因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即6．||||=1||||=1111-1||||=max||||=max||||=11||||=||||||||||||||||||||eeIIeeIAAAAAA7．(1)证明：假设I－A不可逆，则|I-A|=0，即1是A的特征值，所以()1()()1AAAAAA又因为对的任一范数，都有所以由题设知矛盾，所以I－A可逆(2)由||||||||||||||||1||||||||||||||||||||11||||1||||1||||IAIAIIAIAAIIAIIAAIAIIAAIIAAIAAIAIAAAIAA-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得()得8．(1)证明：1||||0.9()1limkkAAAO（2）2||(2)()()=2||1|lim2kkccIBccccBccccBO当|时，9．(1)解：21334(4)(1)22()41AA故发散(2)因为收敛半径为：R=5，所以收敛10．解：1210.10.80.60.30.90.534140.90771300.511773490111425371773311311702835377kkAAAA设的特征值为，，所以11．(1)222sin2cos(2)sin2sin()sincos()sincos2sin(2)cos2cos()cossin()costttAtttteteeeeteettttAtttttttttAttttt(2)222sin2cos(2)sin2sin()sincos()sincos2sin(2)cos2cos()cossin()costttAtttteteeeeteettttAtttttttttAttttt12．解：A的特征值为：－1，1，22221166110221102211sin2(2sin2sin)(sin22sin)33sin()00sin0sin021cos2(cos2cos)(co33cos()tttttttAttttttttteeeeeeeeeeeeeeeetttttAttttttAt（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s2cos)0cos000costttt13．解：A的特征值为：1，1，42ln1110240.51.50.50.50.52.5AA-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33