【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第08讲归纳猜想证明(含详解)

数学高考综合能力题选讲8归纳、猜想、证明题型预测观察、归纳、猜想、证明是解决探索性问题的重要思维方法，也是高考考查的热点．范例选讲例1．已知数列na满足21a，对于任意的n∈N，都有na＞0，且012112nnnnnaaaan.又知数列nb满足：121nnb.(Ⅰ)求数列na的通项na以及它的前n项和nS(Ⅱ)求数列nb的前n项和nT(Ⅲ)猜想nS和nT的大小关系，并说明理由.讲解：012112nnnnnaaaan是关于1nnaa和的二次齐次式，故可利用求根公式得到1nnaa与的更为明显的关系式，从而求出na．(Ⅰ)∵na＞0（ｎ∈N），且012112nnnnnaaaan，∴(n+1)0)()(121naaaannnn．∴11)1(2)12(1)1(2)1(4111nnnnnnnaann．∵na＞0（ｎ∈N），∴11nnaann．即11nnaann．∴nnnnnnnaaaaaaaaaaaannnnnnn1223322111223322111．又21a,所以，nan2．∴nnnaaaSnn221212．(Ⅱ)∵121nnb∴1222211021nnbbbTnnnn．(Ⅲ)122nSTnnn当n=1时，01122111ST11ST；当n=2时，11222222ST22ST；当n=3时，21322333ST33ST；当n=4时，11422444ST44ST；当n=5时，61522555ST55ST；当n=6时，271622666ST66ST；猜想：当5n时，nnST.即122nn.1°当n=5时，前面已验证成立；2°假设kn(k≥5)时命题成立，即122kk成立，那么当n=k+1(k≥5)1122252122222222221kkkkkkkkkk．即n=k+1(k≥5)时命题也成立．由以上1°、2°可知，当n≥5时，有nnST；综上可知：当n=1时，11ST；当52n时，nnST，当n≥5时，有nnST．点评：注意到n2的增长速度大于12n的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n=1到n=4都有nnST就得出nnST的结论，而应该坚信：必存在n，使得122nn，从而使得观察的过程继续下去．例2已知数列na中，nnnaaaa743,417．（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当mn时，2na；当mn时，2na？（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当pn时，总有nnnaaa211？讲解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件nnnaaa7431，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些ka的值来寻找规律．不难得到：3168a，129a，810a，3411a，012a，7413a，可以看出：98,aa均大于2，从10a到13a均小于2，但能否由此断定当13n时，也有2na？这就引导我们去思考这样一个问题：若2na，能否得出21na？为此，我们考查21na与2na的关系，易得nnnnnaaaaa7)2(5274321．可以看出：当2na时，必有21na．于是，我们可以确定：当10n时，必有2na．为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当9,,2,1n时，是否均有2na．方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：34711nnnaaa．由此，我们可以从7a出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若21na，能否得出2na”？由3)2(5234721111nnnnnaaaaa不难得知：上述结论是正确的．所以，存在10m，使得当mn时，2na；当mn时，2na．（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当pn时，总有0211nnnaaa．由（Ⅰ）可得：nnnnnnaaaaaa37222311．我们已经知道：当10n时，2na，于是07,023nnaa，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当pn时，总有3na？观察前面计算的结果，可以看出：310a，131211,,aaa均大于-3，可以猜想：11p即可满足条件．这样的猜想是否正确？我们只需考查31na与3na的关系：由nnnnaaaa725374331可知：上述结论正确．另外，如果我们注意到从11a到13a，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑nnaa1．由nnaa1nnnnnaaaaa727432〉0，从而得出结论．点评：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．