【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1知能优化训练 人教A版选修1-2

11．双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是()A.x25－y24＝1B.y25－x24＝1C.x23－y22＝1D.x29－y216＝1答案：A2．方程x＝3y2－1所表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分解析：选C.依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.3．已知双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．答案：x216－y29＝14．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解：(1)设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9，∴所求双曲线的方程为y29－x216＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线的方程为x2λ－y26－λ＝1(0λ6)．∵双曲线过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的方程为x25－y2＝1.一、选择题21．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：选D.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x≤－3)D.x29－y216＝1(x≥3)解析：选D.由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是x29－y216＝1(x≥3)．3．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(22，0)B．(52，0)C．(62，0)D．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准形式x2－y212＝1，所以a2＝1，b2＝12，∴c＝a2＋b2＝62，∴右焦点坐标为(62，0)．故选C.4．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是()A.12B．1或－2C．1或12D．1解析：选D.依题意：a0，0a24，4－a2＝a＋2.解得a＝1.故选D.5．k9是方程x29－k＋y2k－4＝1表示双曲线的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：选B.当k9时，9－k0，k－40，方程表示双曲线．当k4时，9－k0，k－40，方程也表示双曲线．3∴k9是方程x29－k＋y2k－4＝1表示双曲线的充分不必要条件．6．双曲线x216－y29＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为()A．7B．23C．5或25D．7或23解析：选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF1|－|PF2||＝8，∴|PF1|＝15＋8或15－8，即7或23.二、填空题7．过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程为________．答案：x212－y2＝1或y212－x2＝18．椭圆x234＋y2n2＝1和双曲线x2n2－y216＝1有相同的焦点，则实数n的值是________．解析：因为双曲线x2n2－y216＝1的焦点在x轴上，∴c2＝n2＋16，且椭圆x234＋y2n2＝1的焦点在x轴上，∴c2＝34－n2，∴n2＋16＝34－n2，∴n2＝9，∴n＝±3.答案：±39．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：∵x24－y212＝1，∴当x＝3时，y＝±15.又∵F2(4,0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝15，∴|MF2|＝1＋15＝4.故填4.答案：4三、解答题10．已知方程x22－k＋y2k－1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试4分别求出k的取值范围．解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k)(k－1)＜0，解得k＞2或k＜1.即k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)方程表示椭圆需满足2－k＞0，k－1＞0，2－k≠k－1.解得1＜k＜2且k≠32.即k的取值范围是(1，32)∪(32，2)．(3)方程表示圆需有2－k＝k－1＞0，即k＝32.11．已知与双曲线x216－y29＝1共焦点的双曲线过点P－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x216－y29＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为x2a2－y225－a2＝1，点P－52，－6在双曲线上，∴－522a2－－6225－a2＝1.化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝1254.又当a2＝1254时，b2＝25－a2＝25－1254＝－2540，不合题意．∴所求双曲线标准方程是：x2－y224＝1.12．如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．5解：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝c2.从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．且a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.所以顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．