【冲刺高考】2015高考数学(理)一轮复习课后练习5.1数列的概念与简单表示[来源学优高考网9830

5．1数列的概念与简单表示一、选择题1．已知数列{an}的通项an＝nanb＋c(a，b，c都是正实数)，则an与an＋1的大小关系是()A．an＞an＋1B．an＜an＋1C．an＝an＋1D．不能确定解析：an＝nanb＋c＝ab＋cn，∵y＝cn是减函数，∴y＝ab＋cn是增函数，∴an＜an＋1.答案：B2．已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an，则a16＝()A．2B．3C．－1D.12解析：由题可知a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，a5＝1－1a4＝－1，…，则此数列为周期数列，周期为3，故a16＝a1＝12.答案：D3．数列{－2n2＋29n＋3}中最大项是()A．107B．108C．10813D．109解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－294)2＋10818，∵294＝714，且n∈N*，∴当n＝7时，an最大，最大值为a7＝108.答案：B4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()A．1B．9C．10D．55解析：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案：A5．一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an(n∈N*)，则该函数的图象是()解析：由an＋1＞an可知数列{an}为递增数列，又由an＋1＝f(an)＞an可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.答案：A6．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．43D．43＋1解析：由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，可知Sn＝4n－1.于是a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.答案：A二、填空题7．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则其通项公式an＝__________.解析：由an＋1－an＝n＋1，可得当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.以上n－1个式子左右两边分别相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n＋2n－12，∴an＝nn＋12＋1.又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝nn＋12＋1.答案：nn＋12＋18．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝a13n－12(对于所有n≥1)，且a4＝54，则a1的值是__________．解析：∵Sn＝a13n－12，∴an＝Sn－Sn－1＝a12(3n－13·3n)＝13a1·3n＝a1·3n－1(n≥2)．∵a4＝54，∴54＝a1·33.∴a1＝2.答案：29．数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2011＝__________.解析：a3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝4－5＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5，a6＝a5－a4＝－5－(－1)＝－4，a7＝a6－a5＝－4－(－5)＝1，a8＝a7－a6＝1－(－4)＝5.∴数列{an}为周期数列，6为其一个周期．∴a2011＝a1＝1.答案：1三、解答题10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，求an.解析：由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…a2－a1＝ln21.将以上n－1个式子累加，得an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnnn－1·n－1n－2·…·21＝lnn∴an＝2＋lnn.11．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝1,2,3，….求：(1)a2，a3，a4的值；(2)数列{an}的通项公式．解析：(1)由a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝1,2,3，…，得a2＝13S1＝13a1＝13，a3＝13S2＝13(a1＋a2)＝49，a4＝13S3＝13(a1＋a2＋a3)＝1627.(2)当n≥2时，an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an，∴an＋1＝43an(n≥2)．又a2＝13，∴an＝13×(43)n－2(n≥2)．∴数列{an}的通项公式为an＝1，n＝1，13×43n－2，n≥2.12．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}是递减数列．解析：(1)∵f(x)＝2x－2－x，∴f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n.∴a2n＋2n·an－1＝0.∴an＝－2n±4n2＋42，又∵an＞0，∴an＝n2＋1－n.(2)证明：∵an＞0，且an＝n2＋1－n，∴an＋1an＝n＋12＋1－n＋1n2＋1－n＝n2＋1＋nn＋12＋1＋n＋1＜1.∴an＋1＜an.即{an}为递减数列.