【凤凰教育网初中数学一轮中考复习资料】

1【凤凰教育网初中数学一轮中考复习资料】第39课频率与概率的应用编写：江苏省江阴市要塞中学夏建平第一部分讲解部分（一）课标要求1．理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深学生对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型．2．能运用列表法计算简单事件发生的概率，能用实验或模拟实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率（二）知识要点1．频率是实验的结果，它与实验的方法、过程、次数有密切关系，当实验次数足够多时，我们认为它越接近概率.概率是事件发生的必然结果，它对一个事件来说是确定值..2．概率是表示事件发生的可能性大小的数；通常概率的大小是通过若干次重复实验，用观察到的频率值的方法估计，有些问题的频率值，也可以开动脑筋分析出来.3．概率的预测：通常概率可以通过若干次重复实验来进行预测.但是由于受环境的影响不能做实验时，可选用模拟试验，其方法是：①用替代的实物模拟试验；②用计算器产生的随机数来模拟试验；不论选择哪种方法，都必须保证试验在相同的条件下进行，否则回影响其结果.4．用列表求概率，很多情况下需要排除不需要的结果，而这对很多同学来说恰恰是难点，画树状图就很好地避免了此种情况.5．游戏是否公平，主要看双方获胜的概率是否相等，如果相等就公平；如果双方获胜的概率不等，那么通过分值控制，只要“概率×分值”的结果相等，那么也是公平的.（三）考点精讲考点一：用频率估计概率例1．（2011年湖北省十堰市）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是个．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．【解】白色球的个数是：20×（1﹣5%﹣15%）=20×80%=16.【评注】本题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．考点二：游戏的公平性问题例2．（2011年云南省昭通市）某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自已，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去．（1）请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率．（2）B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏2规则．【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率；（2）根据（1）中所求数据即可得出A班去的概率，以及B班去的概率，进而修改规则得出答案．【解】（1）所有可能的结果如下表：一共16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中和为偶数有6种结果，∴P（和为偶数）=166=83；即A班去参赛的概率为83；（2）由（1）列表的结果可知：A班去的概率为83，B班去的概率为85，所以游戏不公平，对B班有利．游戏规则改为：若和为偶数，则A班得5分；若和为奇数，则B班得3分，则游戏是公平的．【评注】本题中涉及的游戏规则是否公平，就是看A、B两班去的概率是否相同.第（2）小题规则修改的方法不惟一，只要使得A、B两班的概率相等即可.考点三：模拟实验例3．（2009年广东佛山市）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是21”，小明做了下列三个模拟实验来验证：①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】逐个分析每个试验的概率后，与原来的掷硬币的概率比较即可．【解】①由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是21；②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为21；③由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为21．三个试验均科学，故选A．【评注】选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．考点四：学科内的简单应用例4．（2011年安徽省芜湖市）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不3一致．小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点P（m，n）的横坐标，第二个数作为点P（m，n）的纵坐标，则点P（m，n）在反比例函数xy12的图象上的概率一定大于在反比例函数xy6的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同．你赞成谁的观点？（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点P（m，n）的情形；（2）分别求出点P（m，n）在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确．【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验；（2）依据（1）分析求得所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解】（1）画树状图得：（2）∴一共有36种可能的结果，且每种结果的出现可能性相同，其中点（3，4），（4，3），（2，6），（6，2）在反比例函数xy12的图象上，点（2，3），（3，2），（1，6），（6，1）在反比例函数xy6的图象上，∴点P（m，n）在两个反比例函数的图象上的概率为91364，∴小芳的观点正确．【评注】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果.其中列表法适合于两步完成的事件，而画树状图法可以处理需要两步或两步以上完成的事件．（四）易错点剖析[易错点1]思考不周致错例1．从一副扑克牌中随机抽出一张牌，问抽到黑桃牌或K的概率是多少？【错解】∵P（抽到黑桃牌）=5413，P（抽到K）=544，∴P（抽到黑桃牌或K）=5413+544=5417.【误区剖析】在概率的计算中，当所有可能出现的结果数出现交叉时，往往会出现重复累计，使所求的概率值增大的错误.本题错解的原因是：没有注意到在所抽到的黑桃牌中有可能包括黑桃K，故在实际的概率计算中，重复累计了出现黑桃K的情况.【正解】∵P（抽到黑桃牌）=5413，P（抽到K但不含黑桃K）=543，∴P（抽到黑桃牌或K）=5413+543=5416=278.[易错点2]不能正确利用图表求等可能事件的概率例2．一张圆桌旁有四个座位A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三个随机坐到其他三个座位上，求A与B不相邻的概率。4【错解】用树形图列出B，C，D的所有可能如下所有可能出现的结果共6种，其中（A，C，B，D）、（A，C，D，B）、（A，D，B，C）、（A，D，C，B）中A与B都不与B相邻，所以P（A与B不相邻）为32。【误区剖析】本题中A的座位已定，还有三个座位供B、C、D随机选择，所以用树形图法列出座位的所有可能是正确的.再根据所得6种结果找到A与B不相邻的可能情况的思路也是正确的.但本题中A、B、C、D围成一桌，因此与A相邻的不但只是第二个座位，还有第四个座位.也就是说（A、C、D、B）和（A、D、C、B）中A与B也是相邻的.错解中只认为（A、B、C、D）和（A、B、D、C）是相邻是犯了常识性的错误.只看数学符号，不分析本题的具体情境,所以所求概率是错误的.本题也可直接分析出A与B不相邻，即B坐在A的对面的所有可能只有三种情况，即B坐A的对面,C坐A的对面,D坐A的对面。【正解】P（A与B不相邻）=31.（五）真题演练1．（2011年四川省雅安市）已知一次函数y=kx+b，k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为（）A、31B、C、D、2．周末，王雪带领小朋友玩摸球游戏：在不透明塑料袋里装有1个白色和2个黄色的乒乓球，摸出两个球都是黄色的获胜．小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手摸出一个球；小华则先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球．这时，小明急了，说：小刚、小华占了便宜，不公平．你认为如何（）A、不公平，小刚、小华占便宜了B、公平C、不公平，小华吃亏了D、不公平，小华占便宜了3．（2011年江苏省淮安市）有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后．发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为．4．用计算器进行模拟实验，估计6人中有两人同一个月过生日的概率，在选定随机数范围后，每次实验要产生个随机数．5．（2011年贵州省贵阳市）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数例2图A圆桌ABCDC——DD——CC——DD——CC——DD——CA、B、C、DA、B、D、CA、C、B、DA、C、D、BA、D、B、CA、D、C、B5字3、4、5、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是．（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是31，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．6．（2011年云南省玉溪市）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字﹣1、﹣2、1、2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球．（1）请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程x2﹣3x+2=0的根，则小明赢．如果摸出的两个小球上的数字都不是方程x2﹣3x+2=0的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．第二部分练习部分1．一个口袋里有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有（）A、15B、30C、6D、102．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是（）A、小强赢的概率最小B、小文赢的概率最小C、小亮赢的概率最小D、三人赢的概率都相等3．在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能作替代物的是（）A、一枚均匀的普通六面体骰子B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃）C、两只只有颜色不同的袜子D、一枚图钉4．（2011年山东省淄博市）在1，2，3，﹣4这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=xk的图象在第二、四象限的概率是（）A、B、C、D、5．（2009年湖南省长沙市