【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测第7章第2讲解三角形应用举例

第2讲解三角形应用举例1．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为()A.3B．23C．23或3D．32．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()A．aB.2aC．2aD.3a3．(2012年湖南)在△ABC中，若AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋3944．如图K7­2­1，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()图K7­2­1A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里5．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°6．(2012年四川)如图K7­2­2，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝()图K7­2­2A.31010B.1010C.510D.5157．(2012年湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶48．(2012年福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．9．如图K7­2­3，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船的速度是多少海里/时？图K7­2­310．(2013年重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3ab.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．第2讲解三角形应用举例1．C解析：如图D60，在△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴3＝x2＋9－6x·cos30°，解得x＝3或23.图D60图D612．D解析：如图D61，依题意，得∠ACB＝120°.由余弦定理，得∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·－12＝3a2，∴AB＝3a.故选D.3．B解析：设AB＝c.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即7＝c2＋4－2×2×c×cos60°，c2－2c－3＝0，即(c－3)(c＋1)＝0.又c0，∴c＝3.设BC边上的高为h，由三角形的面积公式得S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12BC·h.即12×3×2×sin60°＝12×2×h，解得h＝332.4．A解析：在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°.由正弦定理，得BCsin30°＝20sin45°，解得BC＝102.故选A.5．C解析：如图D62，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°.图D62在△ABD中，由正弦定理，得1sin10°＝ADsin160°.解得AD＝2cos10°.6．B解析：EB＝EA＋AB＝2，EC＝EB2＋BC2＝4＋1＝5，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝π4＋π2＝3π4.由正弦定理，得CDsin∠CED＝CEsin∠EDC则sin∠CED＝15·sin135°＝1010.7．D解析：∵a，b，c为连续的三个正整数，且ABC，可得abc，∴a＝c＋2，b＝c＋1.①又∵3b＝20acosA.∴cosA＝3b20a.②由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc.③由②③，得3b20a＝b2＋c2－a22bc，④联立①④，得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－157(舍去)．∴由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.8．－24解析：设最小边长为a，则另两边长为2a,2a.故最大角的余弦cosα＝a2＋2a2－4a22a·2a＝－24.9．解：如图D63，连接A1B2，A2B2＝102，图D63A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴A1B2＝A1A2＝102.A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．10．解：(1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32，∵A为三角形的内角，∴A＝5π6.(2)由(1)得sinA＝12，由正弦定理，得b＝asinBsinA，csinA＝asinC及a＝3，∴S＝12bcsinA＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，则S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)，则当B－C＝0，即当B＝C＝π－A2＝π12时，S＋3cosBcosC取最大值为3.