【史上最全】2011中考数学真题解析64_两点之间距离_点到直线距离_两平行线的距离(含答案)

【史上最全】2011中考数学真题解析第1页2011全国中考真题解析120考点汇编两点之间距离，点到直线距离，两平行线的距离一、选择题1.（2011湖北荆州，14，3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为13cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：几何图形问题．分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解答：解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．点评：本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．2.（2011，台湾省，11,5分）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺？（）【史上最全】2011中考数学真题解析第2页A、20aB、20bC、×20D、×20考点：平行线之间的距离。专题：计算题。分析：根据两并行线间的距离即为两并行线间的垂直线段长，即全部台阶的高度总和；解答：解：∵一楼地面与二楼地面的距离=全部台阶的高度总和，∴一楼地面与二楼地面的距离为：a×20=20a（公尺）；故选A．点评：本题考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，注意防止无用条件的干扰．3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A、1B、2C、3D、4【答案】B【考点】解直角三角形；点到直线的距离．【专题】几何综合题．【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与32比较得出答案．【史上最全】2011中考数学真题解析第3页【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∴AE=AB•tan∠ABD=22•tan45°=2222=2＞32，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为32的点2个，∴CF=CD•tan∠CDF=222=1，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为32的点，所以P到BD的距离为32的点有2个，故选：B．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．4.（2011浙江衢州，6，3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A、1B、2C、3D、4考点：角平分线的性质；垂线段最短。分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．【史上最全】2011中考数学真题解析第4页解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故选B．点评：此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q的位置．5.（2011广东省茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（）A、3公里B、4公里C、5公里D、6公里考点：角平分线的性质；菱形的性质。专题：证明题。分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．【史上最全】2011中考数学真题解析第5页解答：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；∵AB=BC=CD=DA=5公里，∴四边形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，∴CE=CF=4公里．故选B．点评：本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到四边形ABCD是菱形：菱形的对角线平分对角，是解题的关键．案．二、填空题1.（2011重庆綦江，14，4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。专题：计算题。分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．解答：解：∵AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝5．21AO•BO＝21AB•OH，OH＝512．．故答案为：512．【史上最全】2011中考数学真题解析第6页点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．2.（2011湖北咸宁，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BCAB，2AD，4BC，点E在AB边上，且CE平分BCD，DE平分ADC，则点E到CD的距离为．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形。分析：首先由过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，即可得四边形ABHD是矩形，又由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的长，继而在Rt△DHC中求得DH的长，则可得点E到CD的距离．解答：解：过点E作EF⊥CD于F，过点D作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE=EF，BE=EF，∴EF=AE=BE=AB，∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，∴DF=AD=2，CF=CB=4，∴CD=6，∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，∴∠A=∠B=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB，BH=AD=2，【史上最全】2011中考数学真题解析第7页∴CH=BC﹣BH=2，在Rt△DHC中，DH=22CHCD42，∴EF=22．∴点E到CD的距离为22．故答案为：22．点评：此题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．3.（2011辽宁沈阳，11，4分）在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（X，3）之间的距离是5，则X的值是．考点：坐标与图形性质。专题：计算题。分析：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于X轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|X﹣1|=5，从而解得X的值．解答：解：∵点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，∴|x﹣1|=5，解得x=﹣4或6．故答案为：﹣4或6．点评：本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于x轴的直线上．4.（2011台湾，17，4分）如图，坐标平面上有两直线L．M，其方程式分别为y＝9．y＝－6．若L上有一点P，M上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：PQ＝1：2，则R点与x轴的距离为何（）【史上最全】2011中考数学真题解析第8页A．1B．4C．5D．10考点：坐标与图形性质。专题：函数思想。分析：由已知直线L上所有点的纵坐标为9，M上所由点的坐标为－6，由PQ与y轴平行即于x轴垂直，可得出PN＝9，QN＝6，PQ＝PN＋QN＝9＋6＝15，根据已知PR：RQ＝1：2可求出PR，从而求出R点与x轴的距离．解答：解：已知直线L和M的方程式是y＝9．y＝－6，所以得到直线L．M都平行于x轴，即得点P．Q到x轴的距离分别是9和6，又PQ平行于y轴，所以PQ垂直于x轴，所以，PN＝9，QN＝6，PQ＝PN＋QN＝9＋6＝15，又PR：RQ＝1：2，所以得：PR＝5，RQ＝10，则，RN＝PN－PR＝9－5＝4，所以R点与x轴的距离为4．故选：B．【史上最全】2011中考数学真题解析第9页点评：此题考查的知识点是坐标与图形性质，解题的关键是由已知直线L，M，及PQ与y轴平行先求出PQ，再由PR：RQ＝1：2求出R点与x轴的距离．5.（2011广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．6.（2011杭州，16，4分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为．考点：勾股定理；等腰直角三角形．专题：作图题；转化思想．分析：如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，可得四边形CDFE是正方形，则，CD=DF=FE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出AC=1，AB=2，又AB=AF；所以，在直角△AEF中，可运用勾股定理求得DF的长即为点F到BC的距离．解答：证明：（1）如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，【史上最全】2011中考数学真题解析第10页∴四边形CDFE是正方形，即，CD=DF=FE=EC，∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AF，∴AB=22112，∴AF=2；∴在直角△AEF中，（1+EC）2+EF2=AF2∴2221+2DFDF，解得，DF=312；（2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E，∴四边形CDFE是正方形，即，CD=DF=FE=EC，同理可得，在直角△AEF中，（EC-1）2+EF2=AF2，∴22212DFDF，解得，FD=312；故答案为：312．【史上最全】2011中考数学真题解析第11页点评：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．三、解答题1.（2011杭州，24，12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；中心对称；平行线分线段成比例．专题：计算题；几何图形问题．分析：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值．（2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得129+5517hh即可知h1的取值范围；②当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围．【史上最全】2011中考数学真题解析第12页解答：解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形．∵EF∥BD，∴△ABD∽△AEF，∴1565hEF，即16(5)5EFh所以当152h时，max152S．（2）根据题意