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3.1导数的概念及其运算一、选择题1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(1)=()A.-1B.-2C.1D.2解析:f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,得f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2.答案:B2.设曲线11xyx在点(3,2)处的切线与直线10axy垂直,则a()A.2B.2C.12D.12答案B3.已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=().A.e2B.eC.ln22D.ln2解析f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.答案B4.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.5解析因为f(x)是R上的可导偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)在x=0处取得极值,即f′(0)=0,又f(x)的周期为5,所以f′(5)=0,即曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0,选B.答案B5.设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2013(x)等于().A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx解析∵f0(x)=sinx,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,…∴fn(x)=fn+4(x),故f2012(x)=f0(x)=sinx,∴f2013(x)=f′2012(x)=cosx.答案C6.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)=().A.-eB.-1C.1D.e解析由f(x)=2xf′(1)+lnx,得f′(x)=2f′(1)+1x,∴f′(1)=2f′(1)+1,则f′(1)=-1.答案B7.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f′(0)=().A.26B.29C.212D.215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,而f′(0)=a1·a2·…·a8=212,故选C.答案C二、填空题8.已知函数f(x)=f′π2sinx+cosx,则fπ4=________.解析由已知:f′(x)=f′π2cosx-sinx.则f′π2=-1,因此f(x)=-sinx+cosx,fπ4=0.答案09.函数)()(3Rxaxxxf在1x处有极值,则曲线)(xfy在原点处的切线方程是_____.解析因为函数)()(3Rxaxxxf在1x处有极值,则f′(1)=3+a=0,a=-3.所求切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x.答案3x+y=010.若过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________.解析y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则y0x0=ex0,即ex0x0=ex0,∴x0=1.因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.答案(1,e)e11.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在x=1处的导数f′(1)=________.解析∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,∴x=1时,f(1)=2f(1)-1+8-8,∴f(1)=1,即点(1,1),在曲线y=f(x)上.又∵f′(x)=-2f′(2-x)-2x+8,x=1时,f′(1)=-2f′(1)-2+8,∴f′(1)=2.答案212.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则f1π2+f2π2+…+f2012π2=________.解析:f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,f3(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,f4(x)=-cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x)又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,∴f1π2+f2π2+…+f2012π2=f1π2+f2π2+f3π2+f4π2=0.答案:0三、解答题13.求下列函数的导数.(1)y=x2sinx;(2)y=ex+1ex-1;(3)y=log2(2x2+3x+1).解析:(1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(2)法一:y′=ex+1′ex-1-ex+1ex-1′ex-12=exex-1-ex+1exex-12=-2exex-12.法二:∵y=ex-1+2ex-1=1+2ex-1,∴y′=1′+2ex-1′,即y′=-2exex-12.(3)法一:设y=log2u,u=2x2+3x+1,则y′x=y′u·u′x=1u·ln2(4x+3)=4x+32x2+3x+1ln2.法二:y′=[log2(2x2+3x+1)]′=1x2+3x+·(2x2+3x+1)′=4x+3x2+3x+.14.求下列函数的导数:(1)y=(2x+1)n,(n∈N*);(2)y=ln(x+1+x2);(3)y=2xsin(2x+5).解析(1)y′=n(2x+1)n-1·(2x+1)′=2n(2x+1)n-1.(2)y′=1x+1+x2·1+2x21+x2=11+x2.(3)y′=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).15.设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3,由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,故有f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此解得a=-2,b=5;切线l的方程为:x-y-2=0.(2)由(1)得f(x)+g(x)=x3-3x2+2x,依题意得:方程x(x2-3x+2-m)=0有三个互不相等的根0,x1,x2,故x1,x2是方程x2-3x+2-m=0的两个相异实根,所以Δ=9-4(2-m)0⇒m-14;又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)m(x-1)恒成立,特别地,取x=x1时,f(x1)+g(x1)-mx1-m成立,即0-m⇒m0,由韦达定理知:x1+x2=30,x1x2=2-m0,故0x1x2,对任意的x∈[x1,x2],有x-x2≤0,x-x1≥0,x0,则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0;又f(x1)+g(x1)-mx1=0,所以函数在x∈[x1,x2]上的最大值为0,于是当m0时对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)m(x-1)恒成立.综上:m的取值范围是-14,0.16.设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3,当x=2时,y=12.又f′(x)=a+bx2,于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)证明设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+3x2知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x20(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x20(x-x0).令x=0得,y=-6x0,从而得切线与直线x=0交点坐标为0,-6x0.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为12-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
本文标题:【四川专用(理)】届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】导数的概念及其运算
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