【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第14讲立体几何中的有关计算(含详解)

1立体几何中的有关计算题型预测立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．范例选讲例1长方体1111DCBAABCD中，1BCAB，21AA，E是侧棱1BB中点．（1）求直线1AA与平面EDA11所成角的大小；（2）求二面角BACE1的大小；（3）求三棱锥EDCA11的体积．讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面EDA11的一条垂线．不难发现，AE正为所求．由长方体1111DCBAABCD知：1111AABBAD面，又11AABBAE面，所以，AEAD11．在矩形11AABB中，E为1BB中点且21AA，1AB，所以，21EAAE，所以，AEA1为等腰直角三角形，AEEA1．所以，AE面EDA11．所以，AEA1就是直线1AA与平面EDA11所成的角，为45．（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．注意到11BCCBAB面，所以，面1ABC11BCCB面，所以，只需在11BCCB面内过点E作1BCEF于F，则BACDB1A1C1D1EBACDB1A1C1D1EFG2EF面1ABC．过F作1ACFG于G，连EG，则EGF就是二面角BACE1的平面角．在1EBC中，55211111BCBCEBBCSEFEBC，所以，5532211EFECFC．在1ABC中，1030sin1111ACABFCGFCFCFG．在EFGRt中，36tanFGEFEGF．所以，二面角BACE1的平面角的大小为36arctan．（3）要求三棱锥EDCA11的体积，注意到（2）中已经求出了点E到平面11DAC的距离EF．所以，61613111111111EFCDADEFSVVDACDACEEDCA．另一方面，也可以利用等积转化．因为11//CDAB，所以，//ABEDC11面．所以，点A到平EDC11面的距离就等于点B到平EDC11面的距离．所以，6161311111111111111CDBCEBCDSVVVEBCEBCDEDCBEDCA．点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．例2如图：三棱台111CBAABC中，侧棱1CC⊥底面ABC，120ACB，aBCaAC2,，aCB11，直线1AB与1CC所成的角等于60°．ABCA1B1C13（1）求二面角BACB1的大小；（2）求点B到平面ACB1的距离．讲解无论从已知（直线1AB与1CC所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角BACB1）的角度，过1B作1CC的平行线都是当然之举．在平面CBCB11中，过1B作CCDB11//交CB于点D，连接AD，则1ADB就是直线1AB与1CC所成的角．所以，601ADB．又因为1CC⊥底面ABC，所以，DB1⊥底面ABC．在平面ABC内过点D作ACDE于E，连EB1，则ACEB1，所以，EDB1就是二面角BACB1的平面角．在ACD中，aCDACCDACAD3120cos222．在RtDAB1中，aADDB60cot1．在RtCED中，aCEDE2360sin．在RtDEB1中，33223tan1aaEDB．所以，二面角BACB1的平面角的大小为：332arctan．（2）由D为BC中点，故点B到平面ACB1的距离等于点D到平面ACB1的距离的2倍，作EBDH1于H．由（1）知EDBAC1面，所以，DHAC，所以，ACBDH1面，所以，DH就是点D到平面ACB1的距离．ABCA1B1C1DEH4在RtDEB1中，aDBDEDBDEEBDBDEDH721212111．所以，点B到平面ACB1的距离等于a7212．另外，我们也可以用体积法求出这个距离．设点B到平面ACB1的距离为h．则由ACBBV11ACBBV及31163sin2131311aDBACBBCACDBSVABCACBB，221214721211aDBEDACEBACSACB可得：4763332311aaSVhACBACBBa7212．所以，点B到平面ACB1的距离等于a7212．点评等积变形是求体积和求距离时常用的方法．