【把握高考】2013高三数学经典例题精解分析3-2第4课时空间向量与空间距离(选学)

第4课时空间向量与空间距离（选学）双基达标限时20分钟1．若O为坐标原点，OA→＝(1，1，－2)，OB→＝(3，2，8)，OC→＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()．A.1652B．214C.53D.532解析由题意OP→＝12(OA→＋OB→)＝(2，32，3)，PC→＝OC→－OP→＝(－2，－12，－3)，|PC→|＝4＋14＋9＝532.答案D2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在a内，则P(－2，1，4)到α的距离为()．A．10B．3C.83D.103解析设点P到α的距离为h，则h＝|PA→·n||n|＝103.答案D3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为()．A.3aB.3a2C.22a3D.32a2解析连结BD，AC交于点O，则D1O＝（2a）2＋（22a）2＝322a为所求．答案D4．二面角α­l­β的平面角为60°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.∴CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，[来源:学科网ZXXK]∴|CD→|＝CA―→2＋AB―→2＋BD―→2＋2CA―→·BD―→＝3－2×12＝2.答案25．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E­AB­C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．解析直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝a2.答案a26．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距离．解∵PA→＝(－2，－6，2)．∴PA→·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，|n|＝32＋42＝5.∴点P到直线l的距离为|PA→·n||n|＝145.综合提高（限时25分钟）7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()．A.12B.24C.22D.32解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O(12，12，1)，C1O→＝(12，－12，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·AD1→＝0，n·AB→＝0，即－x＋z＝0，y＝0，取n＝(1，0，1)[来源:Zxxk.Com]∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝|C1O→·n||n|＝122＝24.答案B8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()．A.83B.38C.43D.34解析如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，∴D1B1→＝(2，2，0)，D1A→＝(2，0，－4)，AA1→＝(0，0，4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥D1B1→，n⊥D1A→，∴n·D1B1→＝0，n·D1A→＝0，即2x＋2y＝0，2x－4z＝0，令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．由AA1→在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝|AA1→·n||n|＝43.答案C9．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝95，则点P到斜边AB的距离是________．解析以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，95)，所以AB→＝(－4，3，0)，AP→＝(－4，0，95)，所以AP→在AB上的投影长为|AP→·AB→||AB→|＝165，[来源:学。科。网]所以P到AB的距离为d＝|AP|2－（165）2＝16＋8125－25625＝3.答案3[来源:学&科&网]10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为______．解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，A1C1→＝(－4，6，0)，A1B→＝(0，6，－3)，BC1→＝(－4，0，3)，A1B1→＝(0，6，0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，由n·A1C1→＝0，n·A1B→＝0，解得n＝(1，23，43)．∴d＝|A1B1→·n||n|＝122929.答案12292911．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，12，0)，F(12，1，0)，EF→＝(－12，12，0)，PE→＝(1，12，－1)，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·EF→＝0，且n·PE→＝0，所以－12x＋12y＝0，x＋12y－z＝0.令x＝2，则y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d＝|DE→·n||n|＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D到平面PEF的距离为31717.(2)因为AE→＝(0，12，0)，所以点A到平面PEF的距离为d＝|AE→·n||n|＝117＝1717，所以AC到平面PEF的距离为1717.12．(创新拓展)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．解如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，从而EF→＝(2，2，0)，MN→＝(2，2，0)，AM→＝(－2，0，4)，BF→＝(－2，0，4)，∴EF→＝MN→，AM→＝BF→，∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而n·MN→＝2x＋2y＝0，n·AM→＝－2x＋4z＝0，解得x＝2z，y＝－2z.取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于AB→＝(0，4，0)，所以AB→在n上的投影为n·AB→|n|＝－84＋4＋1＝－83.[来源:学#科#网]∴两平行平面间的距离d＝|n·AB→||n|＝83.