【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练3.3三角函数的图象与性质

第三章第3讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1.[2013·广州一测]如果函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(ω0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为()A.3B.6C.12D.24答案：C解析：T＝π6，ω＝2πT＝12，选C项．2.[2012·大纲全国高考]若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3答案：C解析：∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对称轴．∴x＋φ3＝π2＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋32π，当k＝0时，φ＝32π，选C项．3.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则(OB→－OA→)·OB→＝()A.－4B.4C.－2D.2答案：B解析：容易求得点A(2,0)，B(3,1)，则(OB→－OA→)·OB→＝(1,1)·(3,1)＝4.4.[2013·惠州模拟]已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是()A.π3B.2π3C.πD.4π3答案：A解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]．5.[2013·金版原创]若函数y＝2cosωx在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()A.2B.12C.3D.13答案：B解析：由y＝2cosωx在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f(23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos2π3ω＝12.检验各数据，得出B项符合．6.[2013·泰安质检]函数f(x)＝cos(2x＋3π2)(x∈R)，下面结论不正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的对称中心是(π2，0)C.函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D.函数f(x)是偶函数答案：D解析：∵f(x)＝cos(2x＋3π2)＝sin2x(x∈R)，∴最小正周期T＝2π2＝π，选项A正确；由2x＝kπ得x＝kπ2，k∈Z，∴函数f(x)的对称中心为(kπ2，0)，∴取k＝1得选项B正确；由2x＝kπ＋π2得x＝kπ2＋π4，k∈Z，∴取k＝0得函数f(x)的对称轴为x＝π4，∴选项C正确；∵f(x)＝sin2x(x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，∴选项D不正确．二、填空题7.[2013·太原模考]若函数f(x)＝2tan(kx＋π3)的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为________．答案：2或3解析：因为T＝πk，所以1πk2，即π2kπ，而k为自然数，所以k＝2或3.8.函数f(x)＝cos(2x－π4)＋3在[－π2，π2]上的单调递减区间为________．答案：[－π2，－3π8]∪[π8，π2]解析：由2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z.∵x∈[－π2，π2]，∴取k＝0得f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[π8，π2]；取k＝－1得f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]．∴f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]和[π8，π2]．9.[2013·安庆模拟]如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：由已知得3cos(2×4π3＋φ)＝0，即cos(2π3＋φ)＝0，∴φ＋2π3＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π6，∴|φ|min＝π6.三、解答题10.[2013·金华模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω0，A0,0φπ2)的周期为π，f(π4)＝3＋1，且f(x)的最大值为3.(1)写出f(x)的表达式；(2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程．解：(1)因T＝π，∴ω＝2，最大值为3，∴A＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，∵f(π4)＝3＋1，∴2sin(π2＋φ)＋1＝3＋1，∴cosφ＝32.∵0φπ2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1.(2)由f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1，令2x＋π6＝kπ，得x＝kπ2－π12(k∈Z)，∴对称中心为(kπ2－π12，1)(k∈Z)，由2x＋π6＝kx＋π2，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．11.[2013·南通质检]已知a0，函数f(x)＝－2asin(2x＋π6)＋2a＋b，当x∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)∵x∈[0，π2]，∴π6≤2x＋π6≤76π，∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，又∵a0，－5≤f(x)≤1，∴－2a＋2a＋b＝－5a＋2a＋b＝1，即a＝2，b＝－5.(2)f(x)＝－4sin(2x＋π6)－1，由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[π6＋kπ，23π＋kπ](k∈Z)，单调递减区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)．12.[2013·深圳调研]设函数f(x)＝sinωx＋sin(ωx－π2)，x∈R.(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x＝π8是f(x)的一个零点，且0ω10，求ω的值和f(x)的最小正周期．解：(1)f(x)＝sinωx＋sin(ωx－π2)＝sinωx－cosωx＝2sin(ωx－π4)．当ω＝12时，f(x)＝2sin(x2－π4)，而－1≤sin(x2－π4)≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x2－π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝3π2＋4kπ，k∈Z，相应的x的集合为{x|x＝3π2＋4kπ，k∈Z}．(2)因为f(x)＝2sin(ωx－π4)，所以，x＝π8是f(x)的一个零点⇔f(π8)＝2sin(ωπ8－π4)＝0，即ωπ8－π4＝kπ，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2，又0ω10，所以08k＋210，－14k1，而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，f(x)＝2sin(2x－π4)，f(x)的最小正周期为π.