【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题四第二讲

第二讲数列求和及综合应用1．等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12·d＝na1＋an2.(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1；②q≠1时，Sn＝a11－qn1－q.2．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式．1．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋mm－12d＝0，故a1＝－m－12，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.2．(2012·福建)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0答案A解析用归纳法求解．∵an＝ncosnπ2，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.又2012＝4×503，∴a1＋a2＋…＋a2012＝2＋2＋…＋2＝2×503＝1006.503个3．(2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴a1＋4d＝5，5a1＋5×5－12d＝15，∴a1＝1，d＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴数列1anan＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…[phone]＝1－1101＝100101.4．(2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案1830解析∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×10＋2342＝1830.5．(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N*，则：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.答案(1)－116(2)1312100－1解析∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－12n－(－1)n－1an－1＋12n－1，∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋12n.当n为偶数时，an－1＝－12n，当n为奇数时，2an＋an－1＝12n，∴当n＝4时，a3＝－124＝－116.根据以上{an}的关系式及递推式可求．a1＝－122，a3＝－124，a5＝－126，a7＝－128，a2＝122，a4＝124，a6＝126，a8＝128.∴a2－a1＝12，a4－a3＝123，a6－a5＝125，…，∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－12＋122＋123＋…＋12100＝12＋123＋…＋1299－12＋122＋…＋12100＝1312100－1.题型一分组转化法求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.审题破题(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋n－12－nln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.反思归纳某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．变式训练1在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝42，a8＝30.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(3)an＋2＋λ(λ∈R)，则是否存在这样的实数λ使得{bn}为等比数列；(3)数列{cn}满足cn＝2n－1，n为奇数12an－1，n为偶数，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n.解(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝42，∴a4＝14.设数列{an}的公差为d，则4d＝a8－a4＝16，故d＝4.故an＝a4＋(n－4)d＝4n－2.(2)bn＝(3)an＋2＋λ＝9n＋λ.假设存在这样的λ使得{bn}为等比数列，则b2n＋1＝bn·bn＋2，即(9n＋1＋λ)2＝(9n＋λ)·(9n＋2＋λ)，整理可得λ＝0，即存在λ＝0使得{bn}为等比数列．(3)∵cn＝2n－1，n为奇数2n－3，n为偶数，∴T2n＝1＋(2×2－3)＋22＋(2×4－3)＋24＋…＋22n－2＋(2×2n－3)＝1＋22＋24＋…＋22n－2＋4(1＋2＋…＋n)－3n＝1－4n1－4＋4×nn＋12－3n＝4n－13＋2n2－n.题型二错位相减法求和例2已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋22b3＋…＋2n－1bn＝an，求数列{nbn}的前n项和Tn.审题破题(1)列方程求{an}的通项公式；(2)先求bn(两式相减)，再用错位相减法求Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝2，所以an＝2n.(2)b1＋2b2＋4b3＋…＋2n－1bn＝an①b1＋2b2＋4b3＋…＋2n－1bn＋2nbn＋1＝an＋1②②－①得：2n·bn＋1＝2.∴bn＋1＝21－n.当n＝1时，b1＝a1＝2，∴bn＝22－n.Tn＝12－1＋220＋321＋…＋n2n－2，12Tn＝120＋221＋322＋…＋n2n－1，上两式相减得12Tn＝2＋120＋121＋…＋12n－2－n2n－1＝2＋21－12n－1－n2n－1，∴Tn＝8－n＋22n－2.反思归纳错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数．变式训练2(2013·山东)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋an＋12n＝λ(λ为常数)．令cn＝b2n，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Rn.解(1)设公差为d，令n＝1，则a2＝2a1＋1，a1＝d－1，①又S4＝4S2，即2a1＝d，②由①②得：a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由题意知，Tn＝λ－n2n－1，∴当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝λ－n2n－1－λ－n－12n－2＝n－22n－1.∴cn＝b2n＝n－14n－1(n∈N*)．∴Rn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn＝0＋14＋242＋…＋n－14n－1，①14Rn＝142＋243＋…＋n－24n－1＋n－14n，②①－②得：34Rn＝14＋142＋…＋14n－1－n－14n＝141－14n－11－14－n－14n＝131－14n－1－n－14n＝131－3n＋14n，∴Rn＝491－3n＋14n＝194－3n＋14n－1.题型三裂项相消法求和例3在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝1anan＋1，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝19－1n＋9，求数列{an}的公差．审题破题(1)列方程组(两个条件)确定an；(2)不可以采用裂项相消法求得，应该和已知Tn＝19－1n＋9对比求得公差．解设数列{an}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得a24＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a21＋6a1d＋9d2＝a21＋7a1d，而d≠0，∴a1＝9d.(1)由数列{an}的前10项和为45可得S10＝10a1＋10×92d＝45，即90d＋45d＝45，故d＝13，a1＝3，故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)·13＝13(n＋8)．(2)bn＝1an·an＋1＝1d1an－1an＋1，则数列{bn}的前n项和为Tn＝1d[1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1]＝1d1a1－1an＋1＝