【步步高通用(理)】2014届高三二轮专题突破专题一第4讲不等式及线性规划

第4讲不等式及线性规划【高考考情解读】1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法①变形⇒fxgx0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；②变形⇒fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)；②当0a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)．(4)简单对数不等式的解法①当a1时，logaf(x)logag(x)⇔f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；②当0a1时，logaf(x)logag(x)⇔f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0.2．五个重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)．(3)a＋b2≥ab(a0，b0)．(4)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(5)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a0，b0)．3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．4．两个常用结论(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0.考点一一元二次不等式的解法例1(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．答案9解析由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)c.∴x＋a22c，即－a2－cx－a2＋c.∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②②－①，得2c＝6，∴c＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋10.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2)B．[－2,0)C．(－2,0)D．[0,2](2)设命题p：{x|0≤2x－1≤1}，命题q：{x|x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)≤0}，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________．答案(1)C(2)0，12解析(1)p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m0；命题q为真时，Δ＝m2－40，解得－2m2.故p∧q为真时，－2m0.(2)p：{x|12≤x≤1}，q：{x|k≤x≤k＋1}，由p⇒q且qD⇒/p，则k≤121≤k＋1，∴0≤k≤12，即k的取值范围是0，12.考点二利用基本不等式求最值问题例2(1)(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6(2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．答案(1)C(2)2105解析(1)∵x0，y0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.(2)方法一∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·2x＋y22≤1，解之得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105.等号当且仅当2x＝y0，即x＝1010，y＝105时成立．方法二令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤85，即－2105≤t≤2105，即t的最大值也就是2x＋y的最大值为2105.方法三化已知4x2＋y2＋xy＝1为2x＋14y2＋154y2＝1，令2x＋14y＝cosα，154y＝sinα，则34y＝155sinα，则2x＋y＝2x＋14y＋34y＝cosα＋155sinα＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为()A．1B.32C．2D.52答案B解析2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥2·2x－a·2x－a＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，得a≥32，即实数a的最小值为32，故选B.(2)(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A．0B．1C.94D．3答案B解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－1y－12＋1≤1，所以当y＝1时，2x＋1y－2z的最大值为1.考点三简单的线性规划问题例3(2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元答案C解析设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足x＋y≤21y－x≤736x＋60y≥900，x，y≥0，x、y∈N画出可行域如图直线y＝－23x＋z2400过点A(5,12)时纵截距最小，∴zmin＝5×1600＋2400×12＝36800，故租金最少为36800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12(2)(2013·北京)设关于x、y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是()A.－∞，43B.－∞，13C.－∞，－23D.－∞，－53答案(1)C(2)C解析(1)由x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0得A(3，－1)．此时线OM的斜率最小，且为－13.(2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y＝12x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝12x－1的下方即可，即m－12m－1，解得m－23.1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．3．二元一次不等式表示平面区域的快速判断法：区域不等式区域B0B0Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0上方直线Ax＋By＋C＝0下方Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0下方直线Ax＋By＋C＝0上方主要看不等号与B的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1．若实数x、y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是()A．0t≤2B．0t≤4C．2t≤4D．t≥4答案C解析依题意得，(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，则t2－2t＝2×2x×2y≤2×(2x＋2y2)2＝t22；即t22－2t≤0，解得0≤t≤4；又t2－2t＝2×2x×2y0，且t0，因此有t2，故2t≤4，故选C.2．已知点A(2，－2)，点P(x，y)在x－y＋1≥0，x＋y＋1≥0，2x－y－1≤0所表示的平面区域内，则OP→在OA→方向上投影的取值范围是()A．[－22，22)B．(－22，22)C．(－22，22]D．[－22，22]答案D解析不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P与点D重合时投影最大，当点P与点B或点C重合时投影最小．又C(－1,0)，D(0，－1)，∴OC→＝(－1,0)，OD→＝(0，－1)，∴OD→在OA→方向上的投影为OD→·OA→|OA→|＝22，OC→在OA→方向上的投影为OC→·OA→|OA→|＝－22，故OP→在OA→方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)答案C解析应用基本不等式：x，y∈R＋，x＋y2≥xy(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lgx2＋14≥lgx(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1