【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练选修4-53柯西不等式(人教A版数学理)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(七十二)1.(2012·南京模拟)若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求13a＋2＋13b＋2＋13c＋2的最小值.2.已知x，y，z为正实数，且1x＋1y＋1z＝1，求x＋4y＋9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值.3.若a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝6，求2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值.4.设P是三角形ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明x＋y＋z≤12Ra2＋b2＋c2.5.已知a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝3，a＋b＋c≤|x－2|＋|x－m|对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围.6.(易错题)已知x，y，z为实数，且x＋2y＋3z＝7，(1)求x2＋y2＋z2的最小值；(2)设|2t－1|＝x2＋y2＋z2，求实数t的取值范围.7.已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋14b2＋19c2＋m－1＝0.(1)求证：a2＋14b2＋19c2≥(a＋b＋c)214；(2)求实数m的取值范围.8.设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证：ab＋2bc＋cda2＋b2＋c2＋d2≤2＋12.9.已知函数f(x)＝x＋1x－1，x1，且不等式f(x)≥a2＋b2＋c2对任意x1恒成立.(1)试求函数f(x)的最小值；(2)试求a＋2b＋2c的最大值.10.(2012·南安模拟)将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，(1)求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.答案解析1.【解析】因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，所以(13a＋2＋13b＋2＋13c＋2)[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a＋2＋13b＋2＋13c＋2≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝13时，原式取最小值1.2.【解题指南】因为1x＋1y＋1z＝1，所以可构造x＋4y＋9z＝[(1x)2＋(1y)2＋(1z)2][(x)2＋(2y)2＋(3z)2]，然后利用柯西不等式求解.【解析】由柯西不等式得x＋4y＋9z＝[(x)2＋(2y)2＋(3z)2]·[(1x)2＋(1y)2＋(1z)2]≥(x·1x＋2y·1y＋3z·1z)2＝36.当且仅当x＝2y＝3z时等号成立，此时x＝6，y＝3，z＝2，所以当x＝6，y＝3，z＝2时，x＋4y＋9z取得最小值36.3.【解析】由柯西不等式得(2a＋1＋2b＋3＋2c)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.∴2a＋1＋2b＋3＋2c≤43.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立，又a＋b＋c＝6，∴a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3有最大值43.4.【证明】由柯西不等式得，x＋y＋z＝ax1a＋by1b＋cz1c≤ax＋by＋cz·1a＋1b＋1c，设S为△ABC的面积，则ax＋by＋cz＝2S＝2·abc4R＝abc2R.x＋y＋z≤abc2Rab＋bc＋caabc＝12Rab＋bc＋ca≤12Ra2＋b2＋c2，故不等式成立.5.【解析】∵a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝3，∴由柯西不等式可知，a＋b＋c≤12＋12＋12·(a)2＋(b)2＋(c)2＝3，∴|x－2|＋|x－m|≥3对任意的x∈R恒成立.∵|x－2|＋|x－m|≥|(x－2)－(x－m)|＝|m－2|，∴|m－2|≥3，解得m≤－1或m≥5.∴m的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞).6.【解析】(1)由柯西不等式得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋2·y＋3·z)2即14(x2＋y2＋z2)≥(7)2＝7，所以x2＋y2＋z2≥12，当且仅当|x|＝12|y|＝13|z|时取等号，即x2＋y2＋z2的最小值为12.(2)由(1)得|2t－1|≥12，则2t－1≥12或2t－1≤－12，解得t≥34或t≤14，即实数t的取值范围是(－∞，14]∪[34，＋∞).7.【解析】(1)由柯西不等式得[a2＋(12b)2＋(13c)2]·(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2即(a2＋14b2＋19c2)×14≥(a＋b＋c)2，∴a2＋14b2＋19c2≥(a＋b＋c)214，当且仅当|a|＝14|b|＝19|c|时取得等号.(2)由已知得a＋b＋c＝2m－2，a2＋14b2＋19c2＝1－m，∴14(1－m)≥(2m－2)2即2m2＋3m－5≤0，∴－52≤m≤1，又∵a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，∴m≤1，∴－52≤m≤1.8.【解题指南】可从欲证的不等式左边的分子入手，将其适当变形，然后利用柯西不等式证明，注意应两次利用柯西不等式.【证明】ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)≤2[(ab＋cd)2＋(bc－ad)2]＋(b2＋a2)(c2＋d2)＝2·(a2＋c2)(b2＋d2)＋(a2＋b2)(c2＋d2)≤2·(a2＋c2)＋(b2＋d2)2＋(a2＋b2)＋(c2＋d2)2＝2＋12(a2＋b2＋c2＋d2).∴ab＋2bc＋cda2＋b2＋c2＋d2≤2＋12.9.【解析】(1)∵x1，x－10∴f(x)＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2＋1＝3.(当且仅当x＝2时取“＝”)(2)由(1)得a2＋b2＋c2≤3由柯西不等式得(a2＋b2＋c2)(12＋22＋22)≥(1·a＋2·b＋2·c)2∴(a＋2b＋2c)2≤3×9＝27，∴a＋2b＋2c≤33.当且仅当222abc3abc0122即a＝33，b＝233，c＝233时取“＝”，即a＋2b＋2c的最大值为33.10.【解析】(1)a＋b＋c＝12，V＝abc≤(a＋b＋c3)3＝64；当且仅当a＝b＝c＝4时，等号成立.(2)设正三角形的边长为l，m，n，则l＋m＋n＝4设这三个正三角形的面积和为S，则：3S＝34(l2＋m2＋n2)(12＋12＋12)≥34(l＋m＋n)2＝43S≥433.当且仅当l＝m＝n＝43时，等号成立.即这三个正三角形面积和的最小值为433.