【浙江版】版高中全程复习方略数学理课时提能训练数列的综合应用(人教A版数学理)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(三十二)(45分钟100分)一、选择题（每小题6分，共36分1.（2012·聊城模拟）已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3-27a+2a11=0,数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6·b8=()(A)2(B)4(C)8(D)162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2km，此后每秒钟通过的路程增加2km，若从这一秒钟起通过240km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()(A)10秒钟(B)13秒钟(C)15秒钟(D)20秒钟3.（易错题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()(A)（2，4）(B)（1433，）(C)（12，-1）(D)（-1，-1）4.已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()(A)35(B)33(C)31(D)295.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1b1，a1、b1∈N*(n∈N*)，则数列{nba}的前10项的和等于()(A)65(B)75(C)85(D)956.（2012·合肥模拟）已知数列{an}为等差数列，若1110aa＜-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为()(A)11(B)19(C)20(D)21二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012·宁波模拟）在等差数列{an}中,已知an=-2n+9，则当n=______时,前n项和Sn有最大值.8.设Sn是数列{an}的前n项和,若2nnSS(n∈N*)是非零常数，则称数列｛an｝为“和等比数列”.若数列{nb2}是首项为2,公比为4的等比数列，则数列{bn}______（填“是”或“不是”）“和等比数列”.9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出______万元资金进行奖励．三、解答题（每小题15分，共30分）10.（预测题）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n∈N*）.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记S=32,若对任意正整数n,kS≤Sn恒成立，求实数k的最大值.11.（2012·杭州模拟）已知公差为d的等差数列{an}，0a12,0d2，其前n项和为Sn，若sin（a1+a3）=sina2，cos（a3-a1）=cosa2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=nn1Sn12（），求数列{bn}的前n项和Tn.【探究创新】（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=nkn2a,求数列{bn}的前n项和Tn.答案解析1.【解析】选D.∵数列{an}是等差数列，∴a3+a11=2a7,由2a3-27a+2a11=0，得4a7-27a=0,又an≠0,∴a7=4,∴b6·b8=27b=42=16.2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x+xx12×2=240,即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16（舍去）.3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量与选项对比即可.【解析】选B.由S2=10，S5=55，得2a1+d=10,5a1+10d=55,解得a1=3,d=4,可知直线PQ的一个方向向量是(1,4),只有(14,33)与（1，4）平行,故选B.4.【解析】选C.由a2·a3=a1·a4=2a1得a4=2,又a4+2a7=52,∴a7=14,设等比数列{an}的公比为q，则a7=a4q3,∴q3=18,∴q=12,a1=16,∴S5=51161()2112［］=31.5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得an=a1+n-1,bn=b1+n-1,∴nba=a1+bn-1=a1+(b1+n-1)-1=a1+b1+n-2=5+n-2=n+3,∴数列{nba}也是等差数列，且前10项和为104132=85.【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.(1)由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+3·2n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{nna2}.(2)由前n项和Sn构造等差数列.(3)由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“1110aa＜-1”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出1ad的取值范围，进而求出使得Sn＜0的n的最小值.【解析】选C.方法一：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,由111a9d0a10d02a19d0d0＞＜＜＜得1a1992d＜＜.∵Sn=na1+21nn1dddn(a)n222,由Sn=0得n=0或n=1-12ad.∵19＜12a1d＜20,∴Sn＜0的解集为{n∈N*|n＞12a1d}故使得Sn＜0的n的最小值为20.方法二：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0,由a10+a11＜0知S20＜0,故选C.7.【解析】∵an=-2n+9，∴a1=7，Sn=1nnaan72n922［］=n2n162=-n2+8n=-(n-4)2+16.∴当n=4时,Sn有最大值16.答案：48.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列{nb2}是首项为2,公比为4的等比数列，所以nb2=2·4n-1=22n-1,bn=2n-1.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以2nnTT=4,因此数列{bn}是“和等比数列”.答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,…,a10,则an=12Sn+1,则a1=2,an-an-1=(12Sn+1)-(12Sn-1+1)=12(Sn-Sn-1)=12an,即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10=102(12)12=2046.答案：204610.【解析】(1)∵3an+1+2Sn=3，①当n≥2时，3an+2Sn-1=3.②①-②得3an+1-3an+2an=0,∴n1na1a3(n≥2),又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得a2=13,∴数列{an}是首项为1，公比为13的等比数列.∴an=a1qn-1=(13)n-1(n∈N*）.(2)由(1)知,Sn=nn111()a(1q)311q13=n311()23［］.又对任意n∈N*恒有32k≤n311()23［］，得k≤n11()3.∵数列{n11()3}单调递增，∴a1=23为数列中的最小项,∴必有k≤23,即实数k的最大值为23.11.【解析】(1)∵sin（a1+a3）=sina2，∴sin2a2=2sina2cosa2=sina2，∴sina2（2cosa2-1）=0,∵0a12,0d2,∴0a2π,∴sina2≠0,∴cosa2=12,∴a2=3,∵cos（a3-a1）=cosa2,∴cos2d=cos3,∴d=6,∴a1=6，∴an=6+（n-1）·6=n6,∴数列{an}的通项公式为an=n6.(2)∵Sn=1nnaann1212（）（）,∴bn=nn1nnSnnn126262（）,∴Tn=234n11111234n622222（）①,n2345nn11111111T234n1n26222222［（）］②，①-②得n234nn11111111Tn26222222（）=nn1nn111n11n11221162626212（）（），∴Tn=n1n2332（）.【探究创新】【解题指南】(1)将点Pn代入函数f(x)后，利用Sn与an的关系，求得an;(2)先求f(x)在点Pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出Tn.【解析】(1)∵点Pn(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，∴Sn=n2+2n(n∈N*)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)由f(x)=x2+2x,求导得f′(x)=2x+2.∵在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn,∴kn=2n+2,∴bn=nkn2a=4·(2n+1)·4n,∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n,用错位相减法可求得Tn=6n19·4n+2169.【变式备选】已知等差数列{an}满足：an+1＞an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式an,bn.(2)设Tn=12n12naaabbb(n∈N*),若Tn+n2n312n＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.【解析】(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比.由题意知，a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比数列{bn}的前三项,∴(2+d)2=2(4+2d)d=±2.∵an+1＞an,∴d＞0.∴d=2,∴an=2n-1(n∈N*).由此可得b1=2,b2=4,q=2,∴bn=2n(n∈N*).(2)Tn=12n12naaabbb=23n1352n12222①当n=1时，T1=12;当n≥2时，12Tn=23n+11352n12222②①-②，得n23nn1111112n1T2()222222.∴n1nnn2n112n112n12T13122212=n2n332.∴nn2n311T332nn＜.∵(3-1n)∈［2,3)，∴满足条件nn2n31T2n＜c(c∈Z)恒成立的c的最小整数值为3.