【解析版】四川省内江市2012-2013学年下学期期末考试高一数学试卷(文科)

四川省内江市2012-2013学年下学期期末考试高一数学试卷（文科）一．选择题：本大共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．1．（5分）计算cos23°sin53°﹣sin23°cos53°的值等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．.专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的正弦公式将式子化简，再由特殊角的正弦值求出即可．解答：解：由题意得，cos23°sin53°﹣sin23°cos53°=sin（53°﹣23°）=sin30°=，故选A．点评：本题考查了两角差的正弦公式的逆用，关键是熟练掌握公式并会运用．2．（5分）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．a＞b＞﹣b＞﹣aB．a＞﹣b＞﹣a＞bC．a＞﹣b＞b＞﹣aD．a＞b＞﹣a＞﹣b考点：不等式比较大小．.专题：常规题型．分析：法一：特殊值法，令a=2，b=﹣1代入检验即可．法二：利用不等式的性质，及不等式的符号法则，先把正数的大小比较出来，再把负数的大小比较出来．解答：解：法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a=2，b=﹣1，则有2＞﹣（﹣1）＞﹣1＞﹣2，即a＞﹣b＞b＞﹣a．法二：∵a+b＞0，b＜0，∴a＞﹣b＞0，﹣a＜b＜0，∴a＞﹣b＞0＞b＞﹣a，即a＞﹣b＞b＞﹣a．点评：在限定条件下，比较几个式子的大小，可以用特殊值法，也利用不等式的性质及符号法则直接推导．3．（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．.专题：计算题．分析：由两直线的方程分别找出两直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，解得：a=﹣．故选A点评：此题考查了会根据直线的一般式方程找出直线的斜率，以及两直线垂直时斜率满足的关系．学生在计算时一定要细心，不要出现符号上的错误．4．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a7=4，a2=2，则a1=（）A．1B．C．2D．考点：等比数列的通项公式．.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知及等比数列的性质可得，a3•a7=a4•a6，从而可求q＞0，然后结合a2=2，可求a1，解答：解：∵a3•a7=4，由等比数列的性质可得，a3•a7=a4•a6∴a6=4a4∴=4∵an＞0∴q＞0∴q=2∵a2=2，则a1=1故选A点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题5．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（）A．x2+y2﹣2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x﹣4y=0D．x2+y2﹣2x﹣4y=0考点：圆的一般方程；恒过定点的直线．.分析：先求直线过的定点，然后写出方程．解答：解：由（a﹣1）x﹣y+a+1=0得（x+1）a﹣（x+y﹣1）=0，∴该直线恒过点（﹣1，2），∴所求圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．即x2+y2+2x﹣4y=0．故选C点评：本题考查恒过定点的直线，圆的一般方程，是基础题．6．（5分）已知数列{an}满足，若a1=，则a6的值为（）A．B．C．D．考点：数列的应用；等比数列的通项公式．.专题：等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，代入计算，即可得到结论．解答：解：∵数列{an}满足，a1=，∴a2==，a3==，a4==∴a5=a2=，a6=a3=故选C．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）考点：一元二次不等式的解法．.专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．解答：解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C点评：本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．8．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y=0，若过圆内一点（3，5）的最长弦为AC，最短弦为BD；则四边形ABCD的面积为（）A．20B．15C．10D．考点：直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，过点（3，5）最长的弦即为过此点的直径，最短的弦即为与此直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理求出|BD|的长，利用对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：将圆C方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心C（3，4），半径r=5，∴过圆内一点（3，5）的最长弦为|AC|=10，且直线AC的斜率不存在，∴直线BD的斜率为0，即直线BD解析式为y=5，∴圆心C到直线BD的距离d=1，∴最短弦为|BD|=2=4，则四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=20．故选A点评：此题考查了直线与圆的相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及四边形的面积，找出最长的弦与最短的弦长是解本题的关键．9．（5分）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则cosA的取值范围是（）A．B．C．D．考点：解三角形；基本不等式；直线的斜率．.专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，代入数据解出sinA=，结合sinB∈（0，1]得到sinA∈（0，]，注意到A是锐角，可得A∈[，0），再利用余弦函数的单调性，即可求出cosA的取值范围．解答：解：∵AC=b=2，BC=a=2，∴由正弦定理，得即sinA=∵a＜b，sinB∈（0，1]∴sinA∈（0，]，可得锐角A∈[，0）∵余弦函数在（0，π）内为减函数，∴cosA的取值范围是故选：B点评：本题给出三角形中AC、BC边的长度，求cosA的取值范围．着重考查了正弦定理、三角形大角对大边和三角函数的单调性等知识，属于中档题．10．（5分）（2012•蓝山县模拟）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．.专题：计算题．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故选D．点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合二次函数性质得到是解答本题的关键．二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请吧答案填在答题卡上．11．（5分）已知cosx﹣sinx=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．.专题：三角函数的求值．分析：将条件两边平方，利用二倍角公式，可得结论．解答：解：∵cosx﹣sinx=，∴两边平方，可得1﹣sin2x=∴sin2x=故答案为点评：本题考查二倍角公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）如图，A，B两点在河的对岸，测量者在A的同侧选定一点C，测出A，C之间的距离是100米，∠BAC=105°，∠ACB=45°，则A、B两点之间为100米．考点：解三角形的实际应用．.专题：计算题；解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理，即可得到结论．解答：解：∵∠BAC=105°，∠ACB=45°，∴∠ABC=30°∵AC=100米∴∴AB=100米故答案为：100点评：本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（5分）若曲线y=1+，x∈[﹣2，2]与直线y=k（x﹣2）+4有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是（，]．考点：函数的零点．.专题：直线与圆．分析：先将曲线进行化简得到一个圆心是（0，1）的上半圆，直线y=k（x﹣2）+4表示过定点（2，4）的直线，利用直线与圆的位置关系可以求实数k的取值范围．解答：解：因为y=1+，所以x2+（y﹣1）2=4，此时表示为圆心M（0，1），半径r=2的圆．因为x∈[﹣2，2]，y=1+≥1，所以表示为圆的上部分．直线y=k（x﹣2）+4表示过定点P（2，4）的直线，当直线与圆相切时，有圆心到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得．当直线经过点B（﹣2，1）时，直线PB的斜率为．所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有＜k≤．即实数k的取值范围是（，]．故答案为：（，]．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用以及直线的斜率和距离公式．利用数形结合思想是解决本题的关键．同时要注意曲线化简之后是个半圆，而不是整圆，这点要注意，防止出错．14．（5分）若正数x，y满足，那么使不等式x+y﹣m＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，9）．考点：基本不等式．.专题：不等式的解法及应用．分析：不等式x+y﹣m＞0恒成立⇔m＜（x+y）min．由正数x，y满足，利用基本不等式可得x+y==5．解答：解：∵不等式x+y﹣m＞0恒成立⇔m＜（x+y）min．∵正数x，y满足，∴x+y==5=9，当且仅当y=3，x=6时取等号．∴使不等式x+y﹣m＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，9）．故答案为（﹣∞，9）．点评：正确等价转化和熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．15．（5分）等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．考点：等差数列的性质．.分析：由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④点评：本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推演步骤．16．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．考点：正弦定理．.专题：计算题．分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sinA不可能为0，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与