【解析版】广东省惠州市2013年高考数学一模试卷(理科)

2013年广东省惠州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•惠州一模）若集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（）A．﹣1B．{﹣1}C．{5，﹣1}D．{1，﹣1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出集合A和B中一元二次方程的解，确定出两集合，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．解答：解：由集合A中的方程x2﹣4x﹣5=0，变形得：（x﹣5）（x+1）=0，解得：x=5或x=﹣1，∴集合A={﹣1，5}，由集合B中的方程x2=1，解得：x=1或x=﹣1，∴集合B={﹣1，1}，则A∩B={﹣1}．故选B点评：此题属于以一元二次方程的解法为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型．2．（5分）（2013•惠州一模）已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．解答：解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目．3．（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8xB．y2=8xC．y2=﹣4xD．y2=4x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．解答：解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．4．（5分）（2013•惠州一模）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A．36（π+）B．36（π+2）C．108πD．108（）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，∴根据勾股定理知圆锥的高是6，∴半个圆锥的体积是×π×62×6=36，后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长为12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是6，∴三棱锥的体积是××12×6×6=72，∴几何体的体积是36+72=36（π+2），故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查锥体的体积公式，本题是一个基础题．5．（5分）（2013•惠州一模）已知向量，，，则m=（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意求出，通过共线，列出关系式，求出m的值．解答：解：因为向量，，所以=（2，1+m）；又，所以﹣1×（1+m）﹣1×2=0，解得m=﹣3．故选C．点评：本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．6．（5分）（2013•惠州一模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．7．（5分）（2013•惠州一模）已知函数f（x）=3x+x﹣9的零点为x0，则x0所在区间为（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，]C．[，]D．[，]考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：根据函数f（x）在R上连续，f（）＜0，f（）＞0，从而判断函数的零点x0所在区间为[，]．解答：解：∵函数f（x）=3x+x﹣9在R上连续，f（）=+﹣9＜0，f（）=+﹣9＞0，f（）f（）＜0，故函数的零点x0所在区间为[，]，故选D．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．8．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y'=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴故选A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2013•惠州一模）在等差数列{an}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为52．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7可求a7，然后代入等差数列的求和公式=13a7即可求解解答：解：由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7=12∴a7=4∴=13a7=52故答案为：52点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题10．（5分）（2013•惠州一模）展开式中，常数项是60．考点：二项式定理．分析：据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解：展开式的通项为=令得r=2故展开式的常数项为T3=（﹣2）2C62=60故答案为60．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．11．（5分）（2013•惠州一模）执行如图的程序框图，那么输出S的值是．考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1，然后判断k＜2013是否成立，成立则执行，否则跳出循环，输出S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出现，根据最后当k=2013时算法结束可求得S的值．解答：解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．判断1＜2013，执行S=，k=1+1=2；判断2＜2013，执行S=，k=2+1=3；判断3＜2013，执行S=，k=3+1=4；判断4＜2013，执行S=，k=4+1=5；…程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．而由框图看出，当k=2012时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2013时，跳出循环．又2013=671×3．所以当计算出k=2013时，算出的S的值为．此时2013不满足2013＜2013，跳出循环，输出S的值为故答案为．点评：本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期．是基础题．12．（5分）（2013•惠州一模）已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B．若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列四个命题：①②③④其中所有正确命题的序号是④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知：c可以是直线，也可以是平面，当c表示平面时，①③都不正确；在正方体中举出反例可得②不正确；而根据空间位置关系进行推理可得④正确，由此可得本题的答案．解答：解：对于①，当c表示平面时，根据a∥b且c∥b，不一定有a∥c成立，可能a⊂c，故①不正确；对于②，以正方体过同一个顶点的三条棱为a、b、c，可得a⊥b且c⊥b，但是a、c是相交直线，故②不正确；对于③，当c表示平面时，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正确；对于④，用与③相同的方法，可证出a⊥c成立，故④正确综上，正确命题的序号为④故答案为：④点评：本题给出关于位置关系的几个命题，叫我们找出其中的真命题．着重考查了平行公理及其推论、线面平行与线面垂直的判定与性质和命题真假的判断等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•惠州一模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为﹣4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据条件画出可行域，设z=3x﹣2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=3x﹣2y，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：在坐标系中画出可行域，如图所示由z=3x﹣2y可得y=，则﹣表示直线z=3x﹣2y在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线3x﹣2y=0经过点A时，z最小，由可得A（0，2），此时最小值为：﹣4，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定14．（5分）（2013•惠州一模）（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线的直角坐标方程，圆的直角坐标方程，通过圆心到直线的距离求出d的最大值．解答：解：直线的直角坐标方程为x+y﹣6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为故答案为：．点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．15．（2013•惠州一模）（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•惠州一模）已知f（x）=Asin（ωx+φ）+1，（x∈R，其中）的周期为π，且图象上一个最低点为M（）（1）求f（x）的解析式；（2）当时，求f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的周期求出ω，利用函数图象上一个最低点求出A，列出关系式求出φ，推出函数的解析式．（2）利用函数的解析式，通过x的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．解答：解：（1）因为函数的周期为π，所以T=，所以ω=2，因为函数图象上一个最低点为M（）所以﹣A+1=﹣1，所以A=2，并且﹣1=2sin（2×+φ）+1，可得sin（2×+φ）=﹣1，=2kπ﹣，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，因为，所以k=1，解得φ=．函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+）+