【解析版】广东省湛江市2013届高三4月高考测试(二)数学(理)试题

2013年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A．{x|x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|x＞1}D．{x|1＜x＜2}考点：交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，能求出集合A∩B．解答：解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选D．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）复数的虚部是（）A．.1B．C．.﹣1D．.﹣考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式即可得到答案．解答：解：由=．所以复数的虚部是﹣1．故选C．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（）A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：可知p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，进而可得答案．解答：解：由题意可知：“￢（p∧q）”是真命题，∴p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，即命题p，q中至多有一个是真命题，故选D点评：本题考查复合命题的真假，属基础题．4．（5分）下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=﹣xD．y=tanx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的奇偶性，再考查函数在（0，+∞）上单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=x2是偶函数，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故满足条件．由于函数y=﹣x是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=tanx是奇函数，故不满足条件．故选B．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．5．（5分）运行如图的程序框图，输出的结果是（）A．510B．1022C．254D．256考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出m值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：mn是否继续循环循环前22/第一圈2+223是第二圈2+22+234是…………第五圈2+22+23+…+25+267是第六圈2+22+23+…+26+278是第七圈2+22+23+…+27+289否则程序运行后输出的结果是2+22+23+…+27+28=510．故选A．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数解答：解：令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0∴x=1或x2=kπ+，k∈Z，∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解，∴函数f（x）=（x﹣1）cosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个，故选C点评：本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题．7．（5分）设F1，F2是椭圆的左右焦点，若直线x=ma（m＞1）上存在一点P，使△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则m的取值范围是（）A．1＜m＜2B．m＞2C．1＜m＜D．m＞考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=ma上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率的范围．解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=ma上一点，所以∠PF2A=60°∴cos60°==，即e=∈（0，1）∴m∈（1，2）故选A．点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题8．（5分）（2008•海南）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A．B．C．4D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；压轴题．分析：设棱长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值解答：解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的高宽高分别为m，n，k，由题意得，⇒n=1，，所以（a2﹣1）+（b2﹣1）=6⇒a2+b2=8，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．故选C．点评：本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．解答：解：y′=3x2﹣1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）即2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．10．（5分）已知，则=．考点：函数的值．专题：计算题．分析：求出f（）的值，然后求解的值即可．解答：解：因为函数，所以f（）==﹣1，所以=f（﹣1）=2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，注意分段函数的定义域，考查计算能力．11．（5分）不等式|x2﹣3x+1|＜1的解集为（0，1）∪（2，3）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：直接利用绝对值不等式的解法，求解即可．解答：解：不等式|x2﹣3x+1|＜1的解集等价于﹣1＜x2﹣3x+1＜1的解集，即，解①得：x＜1或x＞2；解②得：0＜x＜3，所以原不等式的解集为：（0，1）∪（2，3）．故答案为：（0，1）∪（2，3）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．12．（5分）已知{an}的前n项之和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由Sn=2an+1，得Sn=2（Sn+1﹣Sn），化简后可判断{Sn}为以1为首项、为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求得Sn．解答：解：由Sn=2an+1，得Sn=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，又a1=1，所以Sn≠0，则，所以{Sn}为以1为首项、为公比的等比数列，所以，故答案为：．点评：本题考查数列递推式、数列前n项和，考查等比数列的定义、通项公式，属中档题．13．（5分）四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有480种．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：7个座位，四人就座恰有两个座位相邻．也就是说，有两个空座位是连在一起，还有一个空座位没和其他空座位连一起，所以，可以把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．然后把四个人排好，把座位插空到四个人产生的5个空档里，求出满足要求的不同坐法的种数即可．解答：解：可以把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．而：四个人的坐法（不考虑空座位）共有A44=4×3×2×1=24种，再把两组不同的空座位插入到四个人产生的5个空档里，有A52=5×4=20种所以满足题意的不同坐法有24×20=480种．故答案为：480．点评：此题主要考查用排列组合及简单的计数原理问题，用插空法求解是题目的关键，有一定的灵活性，需要同学们很好的理解．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ∈[0，2π]，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由得，两式平方后相加得（x﹣2）2+y2=4，…（4分）∴曲线C是以（2，0）为圆心，半径等于的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ=4cosθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．…（10分）故答案为：ρ=4cosθ．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=．15．（几何证明选讲选做题）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为．考点：与圆有关的比例线段；余弦定理．专题：计算题．分析：利用切割线定理求出DB，利用余弦定理求出∠DBC的余弦值，然后利用余弦定理求解AC即可．解答：解：由切割线定理可知，DC2=DB•DA，因为AB=5，CD=6，解得DB=4，由余弦定理可知cos∠DBC==，在△ABC中，AC2=BC2+AB2﹣2AB•BCcos∠ABC=9+25﹣2×3×5×=，所以AC=．故答案为：．点评：本题考查切割线定理的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．甲校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150）频数23101515x31乙校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150）频数12981010y3（1）求表中x与y的值；（2）由以上统计数据完成下面2x2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？（3）若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．（注：概率值可用分数表示）甲校乙校总计优秀非优秀总计考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比