【解析版】江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

1页【解析版】江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）求值sin75°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：把75°变为45°+30°，然后利用两角和的正弦函数公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=×+×=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度75°的变换，与此类似的还有求sin15°．2．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可．解答：解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=∴a=﹣1a=2，当a=2时，两直线重合．∴a=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查斜率都存在的两直线平行的性质，一次项的系数之比相等，但不等于常数项之比．3．（5分）在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴根据余弦定理得：cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．2页故答案为：60°点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．（5分）直线x﹣2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为﹣．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：根据直线x﹣2y+1=0的方程，分别令x，y分别为0，可得截距，进而可得答案．解答：解：因为直线l的方程为：x﹣2y+1=0，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=﹣1，故直线l在两坐标轴上的截距之和为+（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查直线的一般式方程与直线的截距式方程，涉及截距的求解，属基础题．5．（5分）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d=2．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式可得a2=4，进而可得d=a3﹣a2，代入求解即可．解答：解：由题意可得S3===12，解得a2=4，故公差d=a3﹣a2=6﹣4=2故答案为：2点评：本题考查等差数列的前n项和公式和公差的求解，属基础题．6．（5分）若x+y=1，则x2+y2的最小值为．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：在平面直角坐标系中作出直线x+y=1，由x2+y2=（）2可知x2+y2的最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方．解答：解：如图，由题意可知，求x2+y2的最小值是求原点到直线x+y=1的距离的平方，化x+y=1为一般式，即x+y﹣1=0，则（0，0）到x+y﹣1=0的距离为=，所以原点到直线x+y=1的距离的平方为（）2=．故答案为：．3页点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想和数形结合思想，解答此题的关键是对x2+y2的几何意义的理解，此题是中档题．7．（5分）若数列{an}满a1=1，=，a8=．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用累乘法可得a8=，代入数值即可得到答案．解答：解：a8===，故答案为：．点评：本题考查数列的函数特性、由递推式求数列的项，考查累乘法求数列通项．8．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．解答：解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率4页当过点A（1，）时斜率最大，最大值为故答案为：点评：本题主要考查了线性规划为载体考查的几何意义，同时考查了作图能力和运算求解的能力，属于基础题．9．（5分）（2012•海口模拟）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式可得+=，平方可得+sin2θ=，由此解得sin2θ的值．解答：解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．10．（5分）光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2﹣6x﹣6y+17=0所走过的最短路程为4．考点：点与圆的位置关系；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：由对称性求出A（1，0）关于直线x=0对称点M（﹣1，0），化圆的一般方程为标准方程求出圆心坐标和半径，利用M到圆心的距离减去半径得答案．解答：解：找出A（1，0）关于直线x=0对称点M（﹣1，0）光线与y轴交点为P，所以有|PA|=|PM|，最短路程等于M到原心的距离减去半径．由x2+y2﹣6x﹣6y+17=0，得（x﹣3）2+（y﹣3）2=1．所以圆的半径为2，圆心为C（3，3）MC的距离为．所以最短路程为5﹣1=4．故答案为4．点评：本题考查了两点间的距离公式，考查了点与圆的位置关系，解答的关键是对题意的理解，是基础题．5页11．（5分）函y=2sinx+sin（﹣x）的最小值是﹣．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用三角函数的诱导公式及和角公式将函数y=2sinx+sin（﹣x）化简为sin（x+），求出最小值．解答：解：y=2sinx+sin（﹣x）=2sinx+cosx﹣sinx=sinx+cosx=sin（x+）所以最小值为﹣故答案为：﹣．点评：本题主要考查三角函数最值的求法，一般都要把函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式再解题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：解三角形．分析：①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小．③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系，判断三角形解的个数．解答：解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理可知sinA＞sinB＞sinC，所以①正确．②由正弦定理条件知，，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，解得B=C．所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．③tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanC．若C为锐角，则tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＜0，此时tanAtanBtanC＞tanA+tanB+tanC．若C为钝角，则tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＜0，此时tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC．所以③错误．④因为，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必有两解．所以④正确．故答案为：①④．点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理．6页13．（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为m2+n2=3．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设点M（3，k），则由PF⊥OM可得=﹣1，化简可得nk=3﹣3m①．再由题意可得△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，化简可得2m2+2n2﹣6m﹣2nk=0②．再把①代入②化简可得结果．解答：解：设点M（3，k），则由PF⊥OM可得=﹣1，化简可得nk=3﹣3m①．再由直径对的圆周角为直角，可得OP⊥PM，△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，即m2+n2+（m﹣3）2+（n﹣k）2=32+k2．化简可得2m2+2n2﹣6m﹣2nk=0②．再把①代入②化简可得m2+n2=3，故答案为m2+n2=3．点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆相交的性质，属于中档题．14．（5分）已知等比数{an}，a1=1，a4=8，在an与an+1两项之间依次插入2n﹣1个正整数，得到数列{bn}，即a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，…则数列{bn}的前2013项之和S2013=2007050（用数字作答）．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：在数列{bn}中，到an项共有=n+（1+2+…+2n﹣2）=n+=2n﹣1+n﹣1项，即为f（n）（n≥2），因此判断出共含有an的项数，进而即可得出S2013．解答：解：在数列{bn}中，到an项共有=n+（1+2+…+2n﹣2）=n+=2n﹣1+n﹣1项，即为f（n）（n≥2）．则f（11）=210+11﹣1=1034，f（12）=211+12﹣1=2059．设等比数{an}的公比为q，由a1=1，a4=8，得1×q3=8，解得q=2，因此S2013=a1+a2+…+a10+a11+1+2+3+…+2002=+=2007050．故答案为2007050．点评：熟练掌握等差数列和等比数列的前n项和公式及由已知判断出共含有an的项数是解题的关键．二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（﹣1，3），又f（0）=4，一次函数y=g（x）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．（1）求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；（2）求关于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．7页考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用待定系数法分别求出二次函数y=f（x）和一次函数y=g（x）的解析式．（2）利用（1）的结论，解不等式f（x）＞3g（x）．解答：解：（Ⅰ）设f（x）=a（x+1）2+3，∵f（0）=4，解得a=1．∴函数解析式为f（x）=（x+1）2+3=x2+2x+4．…（4分）又因为次函数y=g（x）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．所以得直线的截距式方程，g（x）=x+2．…（8分）（Ⅱ）f（x）＞3g（x）得x2﹣x﹣2＞0解得x＞2或x＜﹣1…（13分）∴不等式f（x）＞3g（x）的解集为{x|x＞2或x＜﹣1}…（14分）点评：本题的考点是利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，以及一元二次不等式的解法．16．（14分）已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2β，将cosβ的值代入计算即可求出值；（2）由cosβ的值，以及β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，再由α与β的范围