【高三总复习】椭圆专题(人教B版)附详细答案

8-4椭圆基础巩固强化1.(2011·东莞模拟)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10[答案]D[解析]∵a2＝25，∴a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.2．“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]∵方程mx2＋ny2＝1，即x21m＋y21n＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：1m0，1n0，1m1n.∴mn0，故互为充要条件．3．(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于()A.22B.12C.32D．以上都不是[答案]A[解析]画出草图(图略)，根据题意可得e＝ca＝cos45°＝22，故选A.(理)(2012·新课标全国，4)设F1、F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45[答案]C[解析]本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．设直线x＝3a2与x轴交于点M，则由条件知，∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝3a2－c，故cos60°＝F2MPF2＝32a－c2c＝12，解得ca＝34，故离心率e＝34.[点评]求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a、c所满足的数量关系，从而确定离心率的值．4．(文)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x216＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()A.165B．3C.163D.253[答案]A[解析]F1(0，－3)，F2(0,3)，∵34，∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±165.即点P到y轴的距离是165.(理)(2012·抚顺质检)椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点为F1、F2，点M在椭圆上，MF1→·MF2→＝0，则M到y轴的距离为()A.233B.263C.33D.3[答案]B[分析]条件MF1→·MF2→＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．[解析]解法1：椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得x24＋3－x2＝1，解得x2＝83，即|x|＝263，此即点M到y轴的距离．解法2：由MF1→·MF2→＝0知，MF1⊥MF2，∴|MF1|＋|MF2|＝4，|MF1|2＋|MF2|2＝4×4－1，∴|MF1|＝2＋2，|MF2|＝2－2，由|MF1|2＝t·|F1F2|得t＝3＋263，∴M到y轴的距离为t－3＝263.解法3：设M(x0，y0)，则x204＋y20＝1，∴y20＝1－x204，①∵MF1→·MF2→＝0，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，又F1(－3，0)，F2(3，0)，∴(x0＋3)2＋y20＋(x0－3)2＋y20＝12，将①代入解得x0＝±263，∴M到y轴的距离为263.[点评]满足MF→·MB→＝0(其中A、B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆．5．(文)已知F是椭圆x225＋y29＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为()A．6B．15C．20D．12[答案]D[解析]S＝12|OF|·|y1－y2|≤12|OF|·2b＝12.(理)已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．16[答案]B[解析]直线y＝k(x＋3)过定点N(－3，0)，而M、N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.6．(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为()A．20B．22C．24D．28[答案]C[解析]椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝25，代入椭圆方程得y2＝24225，即|y|＝245，所以S△PF1F2＝12×10×245＝24，故选C.[点评]关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF1|＋|PF2|＝14(1)，由△PF1F2为直角三角形及c＝49－24＝5得|PF1|2＋|PF2|2＝100(2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF1|·|PF2|＝48，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24.(理)(2011·河北唐山市二模)P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1→·PF2→等于()A．3B.3C．23D．2[答案]D[解析]由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4，PF1→·PF2→＝|PF1→||PF2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.7．(2011·安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．[答案]4[解析]|OM|＝3，|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.8．若方程x2sin2α－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．[答案]2kπ＋7π6，2kπ＋3π2，k∈Z[解析]根据题意知，－1cosα1sin2α，cosα0，sin2α0.化简得，－1≤sinα－12，cosα0.解得α∈2kπ＋76π，2kπ＋32π(k∈Z)．9．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：|x|≤2，|y|≤3.内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为π4，则椭圆M的方程为________．[答案]x24＋y23＝1[解析]平面区域Ω：|x|≤2，|y|≤3.是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab83＝π4，即ab＝23.因为0a≤2,0b≤3，所以a＝2，b＝3.所以，椭圆M的方程为x24＋y23＝1.10．(2012·会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且椭圆过点M(1，－32)．(1)求椭圆方程；(2)过点N(－65，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于P、Q两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠PAQ的大小是否为定值，并说明理由．[解析](1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意c＝3，且椭圆过点M(1，－32)，∴a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1.⇒a2＝4，b2＝1.∴椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)设直线PQ：x＝ty－65，由x＝ty－65，x24＋y2＝1.消去x得，(t2＋4)y2－125ty－6425＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴y1y2＝－6425t2＋4，y1＋y2＝12t5t2＋4，又A(－2,0)，∴AP→·AQ→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋45)(ty2＋45)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋45t(y1＋y2)＋1625＝0，∴∠PAQ＝π2(定值).能力拓展提升11.(2011·浙江文，9)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2[答案]C[解析]由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝13|AB|＝2a3，∴|OP|＝a3.则点P坐标为(5a15，25a15)，又∵点P在椭圆上，∴5a2225a2＋20a2225b2＝1.①又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得a2＝112，b2＝12.故选C.12．(文)设F是椭圆x225＋y216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2011|的长度成等差数列，若|FP1|＝2，|FP2011|＝8，则点P2010的横坐标为()A.20082011B.1005201C.1004201D.53667[答案]C[解析]∵椭圆x225＋y216＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2011|＝8＝a＋c，可知点P1为椭圆的左顶点，P2011为椭圆的右顶点，即x1＝－5，x2011＝5＝－5＋2010d，∴d＝1201，则数列{xi}是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x2010＝－5＋2009×1201＝1004201.(理)(2011·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是()A．a1＋c1a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2a2c1D．a1c2a2c1[答案]D[解析]依题意得，a1a2，c1c2，a1＋c1a2＋c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1a2，得1a11a2，又a1－c1＝a2－c2，因此a1－c1a1a2－c2a2，即有c2a2c1a1，a1c2a2c1.因此，不正确的结论是D，选D.13．如果AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为________．[答案]e2－1[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，作差得x1－x2x1＋x2a2＝y2－y1y2＋y1b2，∴kAB·kOM＝y2－y1x2－x1·y1＋y2x1＋x2＝－b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.14．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e等于________．[答案]3－1[解析]由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝3c，由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴3c＋c＝2a，∴e＝ca＝3－1.15．(文)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．[解析](1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|