【高三总复习】2013高中数学技能特训11-2坐标系与参数方程(人教B版)含解析

11-2坐标系与参数方程基础巩固强化1.(文)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线[答案]C[解析]原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．(理)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋t.(t为参数)所表示的图形分别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线[答案]D[解析]由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程x＝－1－t，y＝2＋t.中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．2．(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x＝1＋2t，y＝2＋t.(t为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为()、A.125B.1255C.955D.9510[答案]B[解析]圆的直角坐标方程为x2＋y2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝35.所以弦长为232－d2＝1255.(理)(2011·上海奉贤区摸底)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t.(t为参数)上，则|PF|＝()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x2＋y2＝16变换为椭圆方程x′2＋y′216＝1，此伸缩变换公式是()A.x＝14x′y＝y′B.x＝4x′y＝y′C.x＝2x′y＝y′D.x＝4x′y＝8y′[答案]B[解析]设此伸缩变换为x′＝λxλ0，y′＝μyμ0，代入x′2＋y′216＝1，得(λx)2＋μy216＝1，即16λ2x2＋μ2y2＝16，与x2＋y2＝16比较得16λ2＝1λ0，μ2＝1μ0，故λ＝14，μ＝1，故所求变换为x′＝14x，y′＝y.故选B.4．(2011·湖南十二校联考)若直线的参数方程为x＝1＋3t，y＝2－3t.(t为参数)，则直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]D[解析]由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.5．(文)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1[答案]C[解析]过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.(理)在极坐标系中，过点(2，π3)且与极轴平行的直线的方程是()A．ρcosθ＝3B．ρsinθ＝3C．ρ＝3cosθD．ρ＝3sinθ[答案]B[解析]设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sinπ3，∴ρsinθ＝3，故选B.6．(2012·淮南市二模)已知曲线C：x＝2cosθ，y＝2sinθ.(θ为参数)和直线l：x＝t，y＝t＋b.(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝()A.2B．－2C．0D．±2[答案]D[解析]将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|2＝1，解得b＝±2.7．(2011·西安质检)若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt.(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s.(s为参数)垂直，则k＝______.[答案]－1[解析]l1：x＝1－2t，y＝2＋kt.(t为参数)化为普通方程为y－2＝－k2(x－1)，l2：x＝s，y＝1－2s.(s为参数)化为普通方程为y－1＝－2x，∵l1⊥l2，∴－k2·(－2)＝－1，k＝－1.8．(2012·湖南理，9)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t.(t为参数)与曲线C2：x＝asinθ，y＝3cosθ.(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.[答案]32[解析]本题考查参数方程与普通方程互化．由题意知，曲线C1：y＝－2x＋3，C2：x2a2＋y29＝1，又知有一个公共点在x轴上，∴(a,0)在直线y＝－2x＋3上，得a＝32.9．(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中，点P(1，π2)到直线l：ρcos(θ＋π4)＝322上的点的最短距离为________．[答案]22[解析]注意到点P(1，π2)的直角坐标是(0,1)，直线l：ρcos(θ＋π4)＝322的直角坐标方程是x－y－3＝0，因此点P(1，π2)到直线l上的点的最短距离，即点P到直线l的距离，等于|0－1－3|2＝22.(理)(2012·江西重点中学联考)在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsin(θ＋π4)＝22的距离为________．[答案]2[解析]注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是(2,0)．直线ρsin(θ＋π4)＝22的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋0－4|2＝2.10．(文)(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为x＝3＋4t，y＝2＋3t.(t为参数)．(1)将C1化为直角坐标方程；(2)曲线C1与C2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．[解析](1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，所以C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(2)C2的直角坐标方程为3x－4y－1＝0，C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心C1(2,0)到直线C2的距离d＝|3×2－4×0－1|32＋42＝12.所以C1与C2相交．相交弦长|AB|＝222－12＝23.(理)(2012·河北保定市模拟)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα.(t为参数)，圆C2：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)(1)当α＝π3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．[解析](1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.法1：联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1.解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，－32)，所以截得的弦长为1－122＋－322＝1.法2：原点O到直线C1的距离为|0－0－3|32＋1＝32，又圆C2的半径为1，所以截得的弦长为21－322＝2×12＝1.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，A点轨迹的参数方程为x＝sin2α，y＝－sinαcosα.(α为参数)．所以A点轨迹的普通方程为x2＋y2－x＝0.能力拓展提升11.(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ.(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t.(t∈R)，它们的交点坐标为________．[答案]1，255[解析]x＝5cosθ，y＝sinθ.(0≤θ≤π)化为普通方程为x25＋y2＝1(0≤y≤1)，而x＝54t2，y＝t.化为普通方程为x＝54y2，由x25＋y2＝10≤y≤1，x＝54y2.得x＝1，y＝255.即交点坐标为1，255.12．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．[答案]1[解析]ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.(理)(2011·深圳调研)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．[答案]2－1[解析]直线l方程化为x＋y－4＝0，⊙C方程化为x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1.圆心C(2,0)到直线l的距离d＝|2＋0－4|2＝2，∴|PQ|min＝2－1.13．(2011·安徽皖南八校联考)已知直线l的参数方程是x＝1＋12t，y＝32t.(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，则直线l被圆C所截得的弦长等于________．[答案]4[解析]依题意得，直线l的普通方程是y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0；圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心C(1,2)到直线l的距离d＝|3×1－2－3|3＋1＝1，因此直线l被圆C所截得的弦长等于252－12＝4.[点评]∵(12)2＋(32)2＝1，∴可只将⊙C方程化为普通方程x2＋y2－2x－4y＝0，将x＝1＋12t，y＝32t.代入得t2－23t－1＝0，∴t1＋t2＝23，t1t2＝－1，∴|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝4，∴直线l被⊙C所截弦长为4.14．以椭圆x225＋y216＝1的焦点为焦点，以直线x＝2ty＝4t为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案]x＝secθ，y＝22tanθ.(θ≠kπ＋π2)[解析]∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c＝3，又直线x＝2t，y＝4t.化为y＝22x，它是双曲线的渐近线，∴ba＝22，∴a2＝1，b2＝8，∴a＝1，b＝22，∴双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝22tanθ.(θ≠kπ＋π2)．15．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆ρ＝2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．[解析](1)直线的参数方程是x＝1＋32t，y＝1＋12t.(t是参数)(2)因为点A、B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，圆ρ＝2化为直角坐标系的方程x2＋y2＝4.将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.16．(文)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα，(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解析](1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y