【高三总复习】2013高中数学技能特训2-9定积分与微积分基本定理(理)(人教B版)含解析

2-9定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.241xdx等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2[答案]D[解析]241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.2．(2011·汕头模拟)设f(x)＝x2x∈[0，1]，2－xx∈1，2].则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在[答案]C[解析]02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx＝13x3|10＋2x－12x221＝56.3．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πC.3π2D．π[答案]A[解析]如右图，S＝∫2π0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|2π0＝2π.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为π6，π，则对称性就无能为力了．4．－π2π2(sinx＋cosx)dx的值是()A．0B.π4C．2D．4[答案]C[解析]－π2π2(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|π2－π2＝2.5．已知正方形四个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()A.12B.14C.13D.25[答案]C[解析]如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝01x2dx＝13x3|10＝13，故所求概率p＝13.6．设f(x)＝0x(1－t)3dt，则f(x)的展开式中x的系数是()A．－1B．1C．－4D．4[答案]B[解析]f(x)＝0x(1－t)3dt＝－14(1－t)4|x0＝14－14(1－x)4，故展开式中x的系数为－14×(－C14)＝1，故选B.7．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案]－1或13.[解析]1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，∴2(3a2＋2a＋1)＝4即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝13.8．(2011·潍坊模拟)抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．[答案]23[解析]∵y′＝－2x＋4，∴在点A(1,0)处切线斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)，在点B(3,0)处切线斜率k2＝－2，方程为y＝－2(x－3)．由y＝2x－1，y＝－2x－3，得x＝2，y＝2.故所求面积S＝12[(2x－2)－(－x2＋4x－3)]dx＋23[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝(13x3－x2＋x)|21＋(13x3－3x2＋9x)|32＝13＋13＝23.9．若函数f(x)＝－x－1－1≤x0，cosx0≤xπ2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为________．[答案]32[解析]由图可知a＝12＋∫π20cosxdx＝12＋sinx|π20＝32.10.(2011·福州月考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．∴S阴影＝a0[0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a0，∴a＝－1.能力拓展提升11.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0、t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C、D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.12．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()A.π4B.12C.π2－1D.2π[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区域中曲线y＝cos2x下方区域的面积是∫π4－π4cos2xdx＝2∫π40cos2xdx＝2(12sin2x)|π40＝1.故所求的概率是1π2＝2π.故选D.13．(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝034xdx，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12[答案]C[解析]因为S3＝034xdx＝2x2|30＝18，所以6q＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12，故选C.14．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则1elnxdx＝()A．1B．eC．e－1D．e＋1[答案]A[解析]由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是1elnxdx＝(xlnx－x)|e1＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.15．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设ab，则直线AB的方程为y－a2＝b2－a2b－a(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝ab[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(a＋b2x2－abx－x33)|ba＝16(b－a)3，∴16(b－a)3＝43，解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中x＝a＋b2，y＝a2＋b22.将b－a＝2代入得x＝a＋1，y＝a2＋2a＋2.消去a得y＝x2＋1.∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.16.由曲线y＝x2和直线x＝0、x＝1、y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形为如图阴影部分，求其面积的最小值．[解析]S1＝t3－0tx2dx＝t3－13t3＝23t3，S2＝t1x2dx－(1－t)t2＝13－13t3－(1－t)t2＝23t3－t2＋13，S1＋S2＝43t3－t2＋13，t∈(0,1)．令y＝43t3－t2＋13，则y′＝4t2－2t，令y′＝0得t＝0或t＝12，∵t∈(0,1)，∴当0t12时，y′0，当12t1时，y′0，∴当t＝12时，y取最小值，即当t＝12时，S1＋S2取到最小值，最小值为14.1．如图，D是边长为4的正方形区域，E是区域D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为()A.15B.14C.13D.12[答案]C[解析]阴影部分面积S＝202x2dx＝2×13x3|20＝163，又正方形面积S′＝42＝16，∴所求概率P＝SS′＝13.2．设a＝0πsinxdx，则二项式(ax－1x)6展开式的常数项是()A．160B．20C．－20D．－160[答案]D[解析]a＝0πsinxdx＝－cosx|π0＝2，Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝(－1)r26－rCr6x3－r，∵Tr＋1为常数项，∴3－r＝0，∴r＝3，∴(－1)3×23×C36＝－160，故选D.3．在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴，直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为()[答案]B[解析]当t≤0时，S＝t－1－xdx＝－12x2|t－1＝12－12t2；当t0时，S＝12＋0txdx＝12＋12x2|t0＝12＋12t2，故选B.4．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求∫π2－π2f(x)dx的值，结果是()A.16＋π2B．πC．1D．0[答案]B[解析]－π2π2f(x)dx＝－π2π2sin5xdx＋－π2π21dx，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以－π2π2sin5xdx＝0，而－π2π21dx＝x|π2－π2＝π，故选B.5．设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1、S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是()A.43，169B.45，169C.43，157D.45，137[答案]A[解析]设P(t，t2)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝0t(tx－x2)dx＝t36；S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋t36，若S1＝S2，则t＝43，∴P43，169.6．(2011·潍坊二模)曲线y＝sinx、y＝cosx与直线x＝0、x＝π2所围成的平面区域的面积为()A．0π2(sinx－cosx)dxB．20π4(sinx－cosx)dxC．0π2(cosx－sinx)dxD．20π4(cosx－sinx)dx[答案]D[解析]在同一坐标系中作出函数y＝sinx(0≤x≤π2)与y＝cosx(0≤x≤π2)的图象，可以发现两图象交于点P(π4，22)，两图象与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域关于直线x＝π4对称，在[0，π4)上，cosxsinx，由x＝0，y＝cosx、y＝sinx在[0，π4]上围成的平面区域面积为0π4(cosx－sinx)dx，故选D.