【高三总复习】2013高中数学技能特训8-1直线的方程与两条直线的位置关系(人教B版)含解析

8-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012·浙江文，4)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]本题考查了平面中两条直线平行的充要条件，由题意知：a1＝22≠－14，所以a＝1.(理)(2011·湛江市调研)如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于()A．3B．－13C．－3D.13[答案]C[解析]由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故选C.2．(文)(2012·北京四中期中)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0垂直，则m的值为()A．－8B．0C．10D．2[答案]D[解析]由条件知，4－mm＋2·(－2)＝－1，∴m＝2.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线平行的充要条件是2a＝a2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评]如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p、q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．3．(2011·皖南八校第三次联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－5＝0[答案]C[解析]由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，选C.[点评]可由点的对称特征或特值法求解．设所求直线上任一点P(x，y)，P关于x＝1对称的点P1(2－x，y)在直线2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.4．(2011·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝ax(a0且a≠1)，当x0时，f(x)1，方程y＝ax＋1a表示的直线是()[答案]C[解析]∵x0时，ax1，∴0a1.∴直线y＝ax＋1a的斜率a满足0a1，在y轴上的截距1a1.故选C.5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1[答案]C[解析]由已知条件可知线段AB的中点1＋m2，0在直线x＋2y－2＝0上，代入直线方程解得m＝3.[点评]还可利用kAB⊥kl求解，或AB→为l的法向量，则AB→∥a，a＝(1,2)．6．(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y＝x33－x2＋1(0x2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.π4B.π6C.5π6D.3π4[答案]D[解析]y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0x2，∴－1≤y′0，由题意知－1≤tanα0，∴3π4≤απ，故选D.7．(2012·绍兴模拟)已知0k4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．[答案]18[解析]由题意知直线l1、l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(4－k)＋12×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝18.8．(2012·佛山市高三检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案]12[解析]直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2(b－12)2＋12，由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.9．已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，则3a＋2b的最小值为________．[答案]25[解析]∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，∴3a＋2b＝1，∵a、b0，∴3a＋2b＝(3a＋2b)(3a＋2b)＝13＋6ba＋6ab≥13＋26ba·6ab＝25.等号成立时，6ba＝6ab，3a＋2b＝1.∴a＝b＝15，故3a＋2b的最小值为25.10．(2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解析](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a－2a＋1＝a－2，∴a＝0，方程为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴－a＋10，a－2≤0，或－a＋1＝0，a－2≤0，∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.能力拓展提升11.两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()[答案]A[解析]直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数，直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数，故选A.[点评]可用斜率关系判断，也可取特值检验．12．(文)(2012·乌鲁木齐地区质检)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.3π4[答案]B[解析]圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是π4.(理)(2012·内蒙包头模拟)曲线y＝x2＋bx＋c在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为()A．[0,1]B．[0，12]C．[0，|b|2]D．[0，|b－1|2][答案]B[解析]y′|x＝x0＝2x0＋b，设切线的倾斜角为α，则0≤tanα≤1，即0≤2x0＋b≤1，∴点P(x0，f(x0))到对称轴x＝－b2的距离d＝|x0＋b2|＝12|2x0＋b|∈[0，12]，故选B.13．已知指数函数y＝2x的图象与y轴交于点A，对数函数y＝lgx的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点M(0，－2)，则|MP|的最小值为________．[答案]322[解析]A(0,1)，B(1,0)，∴直线AB：x＋y－1＝0，又M(0，－2)，当|MP|取最小值时，MP⊥AB，∴|MP|的最小值为M到直线AB的距离d＝|0－2－1|2＝322.14．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案][0，π2)∪(2π3，π)[解析]由题意f′(x)＝a(x－1)2－3，∵a0，∴f′(x)≥－3，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－3，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤απ2或2π3απ.15．△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．[解析]由x－2y＋1＝0，y＝0.得顶点A(－1,0)，∴kAB＝1，∵x轴是∠A的平分线，∴kAC＝－1，∴AC：y＝－(x＋1)，又kBC＝－2，∴BC：y－2＝－2(x－1)，∴C(5，－6)．16．(文)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解析]当k不存在时，B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)，令y＝0得B(3＋1k，0)，由y＝2x，y＋1＝kx－3.得C点横坐标xc＝1＋3kk－2.若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|，∴|1＋3kk－2－1k－3|＝2|1k|，∴1＋3kk－2－1k－3＝2k或1＋3kk－2－1k－3＝－2k，解得k＝－32或k＝14.∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.(理)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10min内只进水、不出水，在随后的30min内既进水又出水，得到容器内水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，若40min后只放水不进水，求y与x的函数关系．[解析]当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝2010＝2，∴此时直线方程为y＝2x；当10x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此时kAB＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y－20＝13(x－10)，即y＝13x＋503；当x40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x40时，k＝－53，又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y＝－53x＋2903.令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y＝2x，0≤x≤10，13x＋503，10x≤40，－53x＋2903，40x≤58.1．曲线y＝k|x|及y＝x＋k(k0)能围成三角形，则k的取值范围是()A．0k1B．0k≤1C．k1D．k≥1[答案]C[解析]数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k1时能围成三角形．2．已知直线l1、l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图象如图所示，则有()A．ac0B．acC．bd0D．bd[答案]C[解析]由图可知，a、c均不为零．直线l1的斜率、在y轴上的截距分别为：－1a、－ba；直线l2的斜率、在y轴上的截距分别为：－1c、－dc，由图可知－1a0，－ba0，－1c0，－dc0，－1a－1c，于是得a0，b0，c0，d0，ac，所以只有bd0正确．3．(2012·山西四校第一次联考)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B．[0，π4]∪[3π4，π)C．[0，π4]D．[0，π4]∪(π2，π)[答案]B[解析]设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，∴tanθ∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θπ.4．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋12＝0能围成三角形，则k不等于()A.32B．－2C.32和－1D.32、－1和－12[答案]D[解析]由x－y－1＝0，2x＋3y＋8＝0.得交点P(－1，－2)，若P在直线x＋ky＋k＋12＝0上，则k＝－12.此时三条直线交于一点；若k＝32或k＝－1，则在三条直线中存在两条直线平行．综上知k≠－12，32和－