【高三总复习】2013高中数学技能特训10-3相关关系回归分析与独立性检验(人教B版)含解析

10-3相关关系、回归分析与独立性检验基础巩固强化1.(文)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200[答案]A[解析]由于销售量y与销售价格x成负相关，故x的系数应为负，排除B、D；又当x＝10时，A中y＝100，C中y＝－300显然C不合实际，故排除C，选A.(理)(2012·湖南)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg[答案]D[解析]本题考查线性回归方程．D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．2．(2012·东北三校模拟)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有()的把握认为“学生性别与支持活动有关系”．()A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%附：P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828[答案]C[解析]由题意得，从给出的附表中可得P(χ2≥6.635)＝0.010，又7.069∈(6.635,10.828)，所以有99%的把握性认为学生性别与支持该活动有关系，故选C.3．(2012·新课标全国，3)在一组样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C.12D．1[答案]D[解析]样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y＝12x＋1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．4．(2012·广州市检测)某中学高三从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为()A.7B．8C．9D．10[答案]B[解析]由茎叶图得，甲班学生的平均分是78＋79＋80＋80＋x＋85＋92＋967＝85，解得x＝5.因为乙班学生成绩的中位数是83，故只有80＋y＝83，解得y＝3.所以x＋y＝8.故选B.5．(文)(2011·山东文，8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元[答案]B[解析]此题必须明确回归直线方程过定点(x，y)．易求得x＝3.5，y＝42，则将(3.5,42)代入y^＝b^x＋a^中得：42＝9.4×3.5＋a^，即a^＝9.1，则y＝9.4x＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．(理)(2012·石家庄市二模)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得回归直线方程y^＝0.56x＋a^，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为()A．70.09kgB．70.12kgC．70.55kgD．71.05kg[答案]B[解析]x－＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y－＝63＋66＋70＋72＋745＝69.∵回归直线过点(x－，y－)，∴将点(170,69)代入y^＝0.56x＋a^中得a^＝－26.2，∴回归直线方程y^＝0.56x－26.2，代入x＝172cm，则其体重为70.12kg.6．(2011·山东烟台一模、江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为()A．3B．3.15C．3.5D．4.5[答案]A[解析]样本中心点是(x－，y－)，即(4.5，11＋t4)．因为回归直线过该点，所以11＋t4＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.7．(2011·合肥模拟)已知x、y之间的一组数据如下表：x13678y12345对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l1：y＝13x＋1与l2：y＝12x＋12，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是________(填l1或l2)．[答案]l2[解析]用y＝13x＋1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为s1＝73；用y＝12x＋12作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为s2＝12.∵s2s1，故用直线y＝12x＋12拟合程度更好．8．(2012·浙江调研)某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．[答案]80%[解析]依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.0275×2＋0.0450)×2＝80%.9．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20min从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y^＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y^平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，它们的随机变量χ2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是________．[答案]②③10．(2012·扬州模拟)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩：数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．[解析](1)x－＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y－＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴s2数学＝9947＝142，s2物理＝2507，从而s2数学s2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到b^＝i＝17xiyi－7x－y－i＝17x2i－7x－2＝497994≈0.5，a^＝y－－b^x－＝100－0.5×100＝50，∴回归直线方程为y^＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.能力拓展提升11.(2012·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有()的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%[答案]C[解析]因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”，选C.12．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程为y^＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性相关系数r和相关指数R2都是描述线性相关强度的量，r和R2越大，相关强度越强．④在一个2×2列联表中，计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误．．的个数是()A．0B．1C．2D．3本题可以参考独立性检验临界值表：P(χ2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(χ2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828[答案]C[解析]方差反映的是波动大小的量，故①正确；②中由于－50，故应是负相关，当x每增加1个单位时，y平均减少5个单位，∴②错误；相关系数r是描述线性相关强度的量，|r|越接近于1，相关性越强，在线性相关的两个变量的回归直线方程中，R2是描述回归效果的量，R2越大，模型的拟合效果越好，故③错误；④显然正确．13．(2012·湖南文，13)下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差s2＝1n[(x1－x－)2－(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]，其中x－为x1，x2，…，xn的平均数)[答案]6.8[解析]本题考查茎叶图、方差的概念．由茎叶图知x－＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.814．(2011·辽宁文，19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．(1)假设n＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求出品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为样本平均数．[解析](1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4.令事件A＝“第一大块地都种品种甲”．从4块小地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．而事件A包含1个基本事件：(1,2)．所以P(A)＝16.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400s2甲＝18(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412.s2乙＝18(72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋1