【高考总复习必备】2013年高考数学闯关密练特训11-3推理与证明新人教A版(含解析)

11-3推理与证明闯关密练特训1.(文)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199[答案]C[解析]本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.[点评]解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．(理)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2013，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2014(x)＝()A．sinx＋exB．cosx＋exC．－sinx＋exD．－cosx＋ex[答案]C[解析]f1(x)＝f′(x)＝cosx＋ex＋2013x2012，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2013×2012x2011，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2013×2012×2011x2010，f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2013×2012×2011×2010x2009，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；而f2014(x)＝f′2013(x)，此时其最后一项的导数将变为0.故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sinx＋ex.2．(文)(2011·惠州模拟)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|[答案]C[解析]如图所示，y2＝2px的准线为x＝－p2，P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.由抛物线定义知：|P1F|＝|P1A|＝x1＋p2，|P2F|＝|P2B|＝x2＋p2，|P3F|＝|P3C|＝x3＋p2，∴2|P2F|＝2(x2＋p2)＝2x2＋p，|P1F|＋|P3F|＝(x1＋p2)＋(x3＋p2)＝x1＋x3＋p.又∵2x2＝x1＋x3，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.(理)(2011·山东实验中学期末)具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－1x，②y＝x＋1x，③y＝x，x0，x＝－1x，x中满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．②③C．①③D．只有①[答案]C[解析]①对于函数f(x)＝x－1x，∵f1x＝1x－x＝－x－1x＝－f(x)，∴①是“倒负”变换的函数，排除B；②对于函数f(x)＝x＋1x有f1x＝1x＋x＝f(x)不满足“倒负”变换，排除A；③，当0x1时，1x1，∵f(x)＝x，∴f1x＝－11x＝－x＝－f(x)；当x1时，01x1，∵f(x)＝－1x，∴f1x＝1x＝－f(x)；当x＝1时，1x＝1，∵f(x)＝0，∴f1x＝f(1)＝0＝－f(x)，∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝a，CD＝b(ab)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF＝ma＋nbm＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为mn，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是()A．S0＝mS1＋nS2m＋nB．S0＝nS1＋mS2m＋nC.S0＝mS1＋nS2m＋nD.S0＝nS1＋mS2m＋n[答案]C[解析]根据面积比等于相似比的平方求解．4．(2011·咸阳市高考模拟考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③[答案]C[解析]这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．5．设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集[答案]C[解析]令a＝1，b＝2，ab＝12，可排除A、B.令a＝2，b＝32，ba＝3，可排除D，故选C.[点评]这是一个信息给予题，用筛选法(即排除法解)更加简便．6．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第ns时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中正确的是()A．P(2012)＝404B．P(2013)＝404C．P(2014)＝405D．P(2015)＝405[答案]A[来源:学_科_网][解析]显然每5s前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2012)＝P(5×402＋2)＝402＋2＝404，P(2013)＝405，P(2014)＝404，P(2015)＝403，故选A.7．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第2014个数对是________．[答案](61,3)[解析]所给各数对依次为对整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大依次分解，2的分解有一个(1,1)，3的分解有两个(1,2)，(2,1)，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)，n(n≥2，n∈N)的分解有n－1个，由n－＋n－2≤2014得，n≤63，∵n＝63时，－2＝1953，故第2014个数对为64的分解第61对，由(1,63)，(2,62)，(3,61)，(4,60)，…知，第61对为(61,3)．8．(2011·湘潭五模)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.[答案]41[解析]根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.9．(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1，你能得到的结论为________．[答案]a1＋a2＋…＋an≤n(n∈N*)[解析]构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，∵f(x)≥0对任意实数x都成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，∵a1，a2，…，an都是正数，∴a1＋a2＋…＋an≤n.10．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[证明](1)证法一(反证法)：若{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，∴q＝0，与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．证法二：只需证明SnSn＋2≠S2n＋1.∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.故{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则由S1，S2，S3成等差数列得，2S2＝S1＋S3.∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾.能力拓展提升11.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1、x2、x3分别表示该时段单位时间通过路段AB︵、BC︵、CA︵的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则()A．x1x2x3B．x1x3x2C．x2x3x1D．x3x2x1[答案]C[解析]∵x1＝50＋(x3－55)＝x3－5⇒x3x1，x2＝30＋(x1－20)＝x1＋10⇒x2x1，x3＝30＋(x2－35)＝x2－5⇒x2x3，∴x2x3x1，∴选C.[点评]抓住“同一路段上驶入与驶出的车辆数相等”这一信息是解题的关键，考查阅读理解能力．12．(文)(2011·泉州模拟)考察下列一组不等式：23＋5322·5＋2·52,24＋5423·5＋2·53,252＋55222·512＋212·52，….将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．[答案]am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a，b0，a≠b，m，n0)[解析]由“23＋5322·5＋2·52”，“24＋5423·5＋2·53”，“252＋55222·512＋212·5”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am＋n＋bm＋nambn＋anbm(a，b0，a≠b，m，n0)．(理)观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝34B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝34C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34[答案]A[解析]观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.13．(文)(2011·江苏苏州测试、南宁模拟)已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广