您好,欢迎访问三七文档
6-4数列的综合问题与数列的应用闯关密练特训1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则a6+a70是S9≥S3的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件[来源:学|科|网Z|X|X|K]C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵S9≥S3⇔a4+a5+a6+a7+a8+a9≥0⇔3(a6+a7)≥0⇔a6+a7≥0,∴a6+a70⇒a6+a7≥0,但a6+a7≥0⇒/a6+a70,故选A.2.(2011·淄博模拟)已知{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是()A.(-72,+∞)B.(0,+∞)C.[-2,+∞)D.(-3,+∞)[答案]C[解析]an=n2+λn=(n+λ2)2-λ24,∵对任意n∈N*,an+1an,∴-λ2≤1,∴λ≥-2,故选C.3.(文)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是()A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n[答案]A[解析]f′(x)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2,∴f(x)=x(x+1),1fn=1nn+=1n-1n+1,∴Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=nn+1.(理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{an},定义向量cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),n∈N*.则下列命题中为真命题的是()A.若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立,则数列{an}是等差数列B.若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立,则数列{an}是等比数列C.若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立,则数列{an}是等差数列D.若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立,则数列{an}是等比数列[答案]A[解析]若对任意n∈N*,有cn∥bn,则ann=an+1n+1=an+2n+2,所以an+1-an=an+2-an+1,即2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列.[来源:Zxxk.Com]4.(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9的值等于()A.52B.40C.26D.20[答案]B[解析]由题意得Sn+1-Snn+-n=3n-2,∴Sn+1-Sn=3n-2,即an+1=3n-2,∴an=3n-5,因此数列{an}是等差数列,a5=10,而a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40,故选B.(理)两个正数a、b的等差中项是72,一个等比中项是23,且ab,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e等于()A.34B.152C.54D.53[答案]D[解析]∵a+b=7,a·b=12,ba0,∴a=3,b=4.∴e=ca=a2+b2a=53.5.(2011·江西新余四中期末)在△ABC中,sinAcosA=2cosC+cosA2sinC-sinA是角A、B、C成等差数列的()A.充分非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]sinAcosA=2cosC+cosA2sinC-sinA⇒2sinAsinC-sin2A=2cosAcosC+cos2A⇒2cos(A+C)+1=0⇒cosB=12⇒B=π3⇒A+C=2B⇒A、B、C成等差数列.但当A、B、C成等差数列时,sinAcosA=2cosC+cosA2sinC-sinA不一定成立,如A=π2、B=π3、C=π6.故是充分非必要条件.故选A.6.(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{an}满足a1=2,an+1=1-2an+1,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T2010的值为()A.1B.2C.13D.23[答案]D[解析]∵a1=2,a2=1-22+1=13,a3=1-213+1=-12,a4=1-2-12+1=-3,a5=1-2-3+1=2.∴an+4=an,∴{an}是以4为周期的数列,T4=2×13×(-12)×(-3)=1.∴T2010=T2008×a2009×a2010=23,故选D.7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A.8B.9C.10D.11[答案]D[解析]由程序框图可知,S=1+2+22+…+2k=2k+1-1,由S2014得,2k+12015,∴k≤9.∵1+2+22+…+29=1023,∴S的值加上29后,变为S=10232014,此时k的值增加1变为k=10,再执行一次循环体后,S=1023+210=2047,k=10+1=11,此时不满足S2014,输出k的值11后结束.[点评]这是最容易出错的地方,解这类题时,既要考虑等比数列求和,在k取何值时,恰满足S≥2014,又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序.8.(文)已知数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*),把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形数阵:22223242526272829210……记M(s,t)表示该数阵中第s行的第t个数,则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示,n∈N).[答案]257[解析]由数阵的排列规律知,第m行的最后一个数是数列{an}的第1+2+3+…+m=mm+2项,且该行有m项,由此可知第11行的第2个数是数列{an}的第10×112+2=57项,对应的数是257.(理)若数列{an}满足1an+1-1an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{1xn}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=________.[答案]20[解析]由题意,若{an}为调和数列,则{1an}为等差数列,∵{1xn}为调和数列,∴数列{xn}为等差数列,由等差数列的性质可知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11=20010=20.故填20.9.(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1,x1,x2,7成等差数列,1,y1,y2,8成等比数列,点M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN的中垂线方程是________.[答案]x+y-7=0[解析]由条件得x1=3,x2=5,y1=2,y2=4,∴MN的中点(4,3),kMN=1,∴MN的中垂线方程为y-3=-(x-4),即x+y-7=0.(理)已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an(n≥2,n∈N*)的焦点在y轴上,一条渐近线方程是y=2x,其中数列{an}是以4为首项的正项数列,则数列{an}的通项公式是________.[答案]an=2n+1[解析]双曲线方程为y2an-x2an-1=1,∵焦点在y轴上,又渐近线方程为y=2x,∴anan-1=2,又a1=4,∴an=4×2n-1=2n+1.10.(文)(2011·北京海淀)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,且Sn=Sn-1+2n(n≥2,n∈N*).(1)求Sn;(2)是否存在等比数列{bn}满足b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在,则求出数列{bn}的通项公式;若不存在,则说明理由.[解析](1)因为Sn=Sn-1+2n,所以有Sn-Sn-1=2n对n≥2,n∈N*成立.即an=2n对n≥2成立.又a1=S1=2×1,所以an=2n对n∈N*成立.所以an+1-an=2对n∈N*成立.所以{an}是等差数列.所以Sn=n2+n,n∈N*.(2)存在.由(1)知an=2n对n∈N*成立,则a3=6,a9=18.又a1=2,所以由b1=a1,b2=a3,b3=a9,得b2b1=b3b2=3.即存在以b1=2为首项,公比为3的等比数列{bn},其通项公式为bn=2·3n-1.(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,且a≠0,a≠1).(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=a2n+Sn·an,若数列{bn}为等比数列,求a的值.(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=1bn+1-1bn+1-1,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn2n-12.[解析](1)S1=a(S1-a1+1),∴a1=a,当n≥2时,Sn=a(Sn-an+1),Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),两式相减得an=a·an-1,anan-1=a,即{an}是等比数列,∴an=a·an-1=an.(2)由(1)知an=an,Sn=aan-a-1,∴bn=(an)2+aan-a-1an=2a-1a2n-aana-1,若{bn}为等比数列,则有b22=b1b3,而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1),故[a3(2a+1)]2=2a2·a4(2a2+a+1),解得a=12,再将a=12代入,得bn=(12)n成立,所以a=12.(3)证明:由(2)知bn=(12)n,所以cn=112n+1-112n+1-1=2n2n+1+2n+12n+1-1=2-12n+1+12n+1-1,所以cn2-12n+12n+1,Tn=c1+c2+…+cn(2-12+122)+(2-122+123)+…+(2-12n+12n+1)=2n-12+12n+12n-12.能力拓展提升11.在圆x2+y2=10x内,过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{an}的首项a1,最长弦长为an,若公差d∈(13,23],那么n的取值集合为()A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}[答案]A[解析]∵圆x2+y2=10x,∴(x-5)2+y2=5,圆心为(5,0),半径为5.故最长弦长an=10,最短弦长a1=8,∴10=8+(n-1)d,∴d=2n-1,∵d∈(13,23],∴132n-1≤23,∴4≤n7,又∵n∈N*,∴n的取值为4,5,6,故选A.12.(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a0,b0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是()A.ab=AGB.ab≥AGC.ab≤AGD.不能确定[答案]C[解析]由条件知,a+b=2A,ab=G2,∴A=a+b2≥ab=G0,∴AG≥G2,即AG≥ab,故选C.[点评]在知识交汇点处命题是常见命题方式,不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用.(理)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=12(log0.5a5+log0.5a7),Q=log0.5a3+a92,P与Q的大小关系是()A.P≥QB.PQC.P≤QD.PQ[答案]D[解析]P=log0.5a5a7=log0.5a3a9,Q=log0.5a3+a92,∵q≠1,∴a3≠a9,∴a3+a92a3a9又∵y=log0.5x在(0,+∞)上递减,∴log0.5a3+a92log0.5a3a9,即QP.故选D.13.(2011·湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an},已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人.[答案]255[解析]∵an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),∴n为奇数时,an+2=an,n为偶数时,an+2-an=2,即数列{an}的奇数项为常数列,偶数项构成以2为首项,2为公差的等差数列.故这30天入院治疗流感人数共有15+(15×2+15×142×2)=255人.14.(2011·江苏,13)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________.[答案]33[解析]∵a1,a3,a5,a7成公比为q的等
本文标题:【高考总复习必备】2013年高考数学闯关密练特训6-4数列的综合问题与数列的应用新人教A版(含解析)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2823439 .html