【高考第一轮复习数学】函数专题二

专题二：基本初等函数及其应用一、一次函数定义：函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数.它的定义域是R，值域是R.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线，简写为直线y=kx+b，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距.一次函数又叫做线性函数.性质：1.k的大小表示直线与x轴的倾斜程度；2.当k0时，一次函数是增函数；当k0时，一次函数是减函数；3.当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数又不是偶函数.二、二次函数1.定义：函数2yaxbxc（a≠0）叫做二次函数，它的定义域是R.特别的，当b=c=0时，二次函数变为xay2（a≠0）,表示一条顶点为原点的抛物线.a0时，抛物线开口向上；a0时，抛物线开口向下.它为偶函数，y轴为图象的对称轴.2.二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象和性质与a、b、c的关系关于a、b、c的代数式作用说明a决定开口方向与大小；决定单调性a0开口向上，a越小，开口越大，.),2[]2,(调递增区间为单为单调递减区间，ababa0开口向下，a越小，开口越大，.),2[]2,(调递减区间为单为单调递增区间，ababb决定奇偶性b=0偶函数b≠0非奇非偶函数c决定与y轴的交点位置c0交点在x轴上方c=0过原点c0交点在x轴下方ab2决定对称轴的位置ab0在y轴左侧ab=0对称轴是y轴ab0在y轴右侧acb42决定与xacb420两个交点轴的交点个数acb42=0一个交点acb420无交点(abacab44,22）决定顶点的位置利用配方法把函数化为y=aabacabx4422)2(aacb42决定与x轴的两交点间的距离aacbaacbbaacbbxx42424222213.利用二次函数大的性质求值和比较大小不通过计算求函数值，主要是通过配方找出二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性求解.比较两个函数的大小，关键在于根据对称性将它们转化到同一增区间或减区间上，然后在同一单调区间上进行比较.三、函数的零点与二分法1.函数零点的定义一般的，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=0,则a叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与x轴的公共点是（a,0）.注意：（1）、函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，对应的函数值等于零.（2）、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式.2.二分法（1）变号零点如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象连续不断，并且在它的两个断点处的函数值异号，即f(a)·f(b)0,则这个函数在这个区间上至少存在一个零点，即存在一点x0∈（a,b），使得f(x0)=0,这样的零点叫做变号零点.（2）不变号零点如果曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点.（3）零点具有的性质①如果函数的图象是连续的，那么当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号.但对于二次函数来说，如果它有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号不改变.②如果函数的图象是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号.（4）二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．（5）二分法的步骤给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间，，验证·＜0，给定精确度；第二步：求区间，的中点；第三步：计算：1、若=，则就是函数的零点；2、若·＜0，则令=（此时零点）；3、若·＜0，则令=（此时零点）；第四步：判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复第二步到第四步．四、指数与指数函数1．根式：一般地，如果axn(a∈R,n1，且n∈N*),那么x叫做a的n次方根，．求a的n次方根叫做把a开n次方，称作开方运算.正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；),1()(Nannann且；当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）sa·srraa),,0(Rsra；（2）rssraa)(),,0(Rsra；（3）srraaab)(),,0(Rsra．4.指数函数的定义：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x∈R是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．5.指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）6.对数（1）对数定义一般地，对于指数式Nab，我们把“以a为底N的对数b”，记作：aNlog即b=aNlog)1,0(aa,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.对数与指数间的关系：当0a，且1a时，xNNaaxlog；（2）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1log()loglogaaaMNMN；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．（3）常用对数：以10为底的对数Nlg；（4）自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．（5）换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．7.对数函数（1）概念：函数0(logaxya，且a≠1,x0)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．（2）对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）8.反函数当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.对数函数aaxxyy与指数函数log对称象关于直线互为反函数，它们的图xy.9.幂函数1.定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2.幂函数的性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．（3）如果0，则幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．