【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练26

题组层级快练(二十六)1．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为()A．2πB.3π2C．πD.π2答案A解析f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinxcosx·cosx＝2cos(x－π3)，则T＝2π.2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是()A．y＝sin(2x＋π2)B．y＝cos(2x＋π2)C．y＝sin(x＋π2)D．y＝cos(x＋π2)答案A解析对于选项A，注意到y＝sin(2x＋π2)＝cos2x的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.3．函数y＝sin(π4－x)的一个单调递增区间为()A．(3π4，7π4)B．(－π4，3π4)C．(－π2，π2)D．(－3π4，π4)答案A解析y＝sin(π4－x)＝－sin(x－π4)，故由2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2，解得2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)．因此，函数y＝sin(π4－x)的单调增区间为[2kπ＋34π，2kπ＋74π](k∈Z)．4．(2015·湖南洛阳模拟)若函数y＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.23πC.32πD.53π答案C解析sin(－x3＋φ3)＝sin(x3＋φ3)观察选项．当φ＝32π时，等式恒成立．5．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数答案D解析f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝12sin22x＝1－cos4x4，则T＝2π4＝π2且为偶函数．6．函数g(x)＝sin22x的单调递增区间是()A．[kπ2，kπ2＋π4](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π4](k∈Z)C．[kπ2＋π4，kπ2＋π2](k∈Z)D．[kπ＋π4，kπ＋π2](k∈Z)答案A7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案A解析依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝kπ＋π2，φ＝kπ－136π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.8．已知函数y＝sinωx在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是()A．[－32，0)B．[－3,0)C．(0，32]D．(0,3]答案C解析由于y＝sinx在[－π2，π2]上是增函数，为保证y＝sinωx在[－π3，π3]上是增函数，所以ω0且π3·ω≤π2，则0ω≤32.9．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝sinxcosxC．f(x)＝cosxD．f(x)＝cos2x－sin2x答案D解析因为对任意x∈R有f(x)＝f(－x)且f(x－π)＝f(x)，所以f(x)为偶函数且f(x)的最小正周期为π.故A，C错．B项中，f(x)＝sinxcosx＝12sin2x为奇函数，故B错，D项中，f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，满足条件，故选D.10．将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D．在区间－π6，π3上单调递增答案B解析y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到y＝3sin2x－π2＋π3＝3sin2x－23π.令2kπ－π2≤2x－23π≤2kπ＋π2，得kπ＋π12≤x≤kπ＋712π，k∈Z.则y＝3sin2x－23π的增区间为kπ＋π12，kπ＋712π，k∈Z.令k＝0得其中一个增区间为π12，712π，故B正确．画出y＝3sin2x－23π在－π6，π3上的简图，如图，可知y＝3sin2x－23π在－π6，π3上不具有单调性，故C，D错误．11．(2015·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A．f(0)＝1B．f(0)＝0C．f′(0)＝1D．f′(0)＝0答案D解析f(x)＝sin(ωx＋φ)是偶函数，有φ＝kπ＋π2，k∈Z.∴f(x)＝±cosωx.而f′(x)＝±ωsinωx，∴f′(0)＝0，故选D.12．(2015·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x＋π3)－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k∈Z.其中正确的结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析由已知得，f(x)＝cos(2x＋π3)－cos2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3－cos2x＝－sin(2x＋π6)，不是奇函数，故①错．当x＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x＝5π12时，f(5π12)＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.13．(2013·江西理)函数y＝sin2x＋23sin2x的最小正周期T为________．答案π解析y＝sin2x＋23sin2x＝sin2x－3cos2x＋3＝2sin(2x－π3)＋3，所以该函数的最小正周期T＝2π2＝π.14．将函数y＝sin(ωx＋φ)(π2φπ)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.答案12解析注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T2＝4π3－(－2π3)＝2π，T＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.15．设函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0φπ)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.答案2π3解析由题意得f′(x)＝3cos(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(3x＋φ＋π3)是奇函数，因此φ＋π3＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－π3.又0φπ，所以φ＝2π3.16．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图像的一条对称轴是x＝5π3，则函数g(x)＝asinx＋cosx的初相是________．答案23π解析f′(x)＝cosx－asinx，∵x＝5π3为函数f(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，∴f′(5π3)＝cos5π3－asin5π3＝0，解得a＝－33.∴g(x)＝－33sinx＋cosx＝233(－12sinx＋32cosx)＝233sin(x＋2π3)．17．(2013·安徽理)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案(1)1(2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．18．已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．答案(1){x∈R|x≠kπ，k∈Z}T＝π(2)[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)解析(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sinx－cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)．1．(2013·浙江理)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析f(x)是奇函数时，φ＝π2＋kπ(k∈Z)；φ＝π2时，f(x)＝Acos(ωx＋π2)＝－Asinωx为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)答案C解析由题意知，f(x)在π6处取得最大值或最小值，∴x＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋kπ，φ＝π6＋kπ，k∈Z.又由f(π2)f(π)，得sinφ0.∴φ＝－56π＋2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x－5π6)．由2kπ－π2≤2x－56π≤2kπ＋π2，得f(x)的单调递增区间是[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．3．若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值MD．可以取得最小值－M答案C解析方法一(特值法)：取M＝2，w＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T＝2πw，g(x)＝Mcos(wx＋φ)＝Msin(wx＋φ＋π2)＝Msin[w(x＋π2w)＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w(即T4)得到的．由b－a＝T2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b－a2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.4．已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的周期、对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调增区间．答案(1)T＝π，对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)(2)[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)解析f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．(1)f(x)的周期T＝π，函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．(2)由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kx－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．5．已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12.(1)若0＜α＜π2，且sinα＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．答案(1)12(2)T＝π，kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z思路(1)由sinα＝22与α的取值范围，求出cosα或α的值；再代入函数f(x)，即可求出f(α)的值．