【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练33

题组层级快练(三十三)1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为()A．1B.2C.3D．2答案B解析∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．∴|a－b|＝02＋sinθ－cosθ2＝1－sin2θ.∴|a－b|最大值为2.故选B.2．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则当(a＋b)2＝(a－b)2时，该平行四边形为()A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不正确答案B解析在平行四边形中，a＋b＝AB→＋AD→＝AC→，a－b＝AB→－AD→＝DB→，∵|a＋b|＝|a－b|，∴|AC→|＝|DB→|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.3．在△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析由已知，AB→2＝AB→·AC→－AB→·BC→＋CA→·CB→＝AB→·(AC→＋CB→)＋CA→·CB→＝AB→2＋CA→·CB→，∴CA→·CB→＝0.4．已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB→|＝5，则AC→·CB→等于()A．－52B.52C．0D.532答案A解析由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB＝60°⇒AC→·CB→＝－CA→·CB→＝－|CA→|·|CB→|·cos∠ACB＝－5·5·cos60°＝－52.5．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析依题意得3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1,2sin(C＋π6)＝1，sin(C＋π6)＝12.又π6C＋π67π6，因此C＋π6＝5π6，C＝2π3，选C.6．设P是曲线y＝1x上一点，点P关于直线y＝x的对称点为Q，点O为坐标原点，则OP→·OQ→＝()A．0B．1C．2D．3答案C解析设P(x1，1x1)，则Q(1x1，x1)．∴OP→·OQ→＝(x1，1x1)·(1x1，x1)＝x1·1x1＋1x1·x1＝2.7．在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案D解析因a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0⇒b⊥(a－c)．又a＋b＋c＝0⇒b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0⇒a2＝c2，得|a|＝|c|.同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|.故△ABC为等边三角形．8．(2015·辽宁五校协作体第一次联考)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个不共线的向量OA→，OB→，OC→满足OB→＝a1OA→＋a2014OC→，且A，B，C三点共线，则S2014＝()A．1007B．1006C．2012D．2014答案A解析因为OB→＝a1OA→＋a2014OC→，又A，B，C三点共线，所以a1＋a2014＝1，∴S2014＝a1＋a20142×2014＝1007.故选A.9．已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：∃t∈R，使得a＝tb，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵|a·b|＝|a||b||cosθ|＝|a||b|，∴θ＝0°或180°，即a，b共线．∴∃t∈R，使得a＝tb成立．∴p是q的充分条件．若∃t∈R，使得a＝tb，则a，b共线．∴|a·b|＝|a||b|.∴p是q的必要条件．综上可知，p是q的充要条件．10．(2015·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案B解析OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|⇒|AB→＋AC→|2＝|AB→－AC→|2⇒AB→·AC→＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.11．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为原点，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D.6或－6答案C解析由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，得OA→⊥OB→.∴点O到AB的距离d＝2，即|－a|2＝2，解得a＝±2.12．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝16xD．y2＝42x答案B解析如图所示，AF→＝FB→⇒F为线段AB中点，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30°.由BA→·BC→＝48，得BC＝43.则AC＝4.∴由中位线的性质有p＝12AC＝2.故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.13．已知向量i和j为互相垂直的单位向量，向量a＝i－2j，b＝i＋λj，a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪(－2，12)解析∵0〈a，b〉π2，∴0cos〈a，b〉1，∴0a·b|a|·|b|1，即01－2λ5·1＋λ21，解得λ12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．(2013·新课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.答案2解析方法一：AE→·BD→＝(AD→＋12AB→)·(AD→－AB→)＝AD→2－12AB→2＝22－12×22＝2.方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)，则AE→·BD→＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.15．已知圆O：x2＋y2＝4，直线x－3y＋10＝0上有一动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PO→·PA→的最小值为________．答案6解析圆心O到直线x－3y＋10＝0的距离d＝|10|12＋－32＝102，所以直线和圆相离．因为PA与圆O相切，所以PA⊥OA，故PA→·AO→＝0.又PO→＝PA→＋AO→，所以PO→·PA→＝(PA→＋AO→)·PA→＝PA→2＋AO→·PA→＝PA→2.又PA⊥OA，所以PA→2＝|PA→|2＝|PO→|2－|OA→|2＝|PO→|2－4.显然|PO→|的最小值为圆心O到直线x－3y＋10＝0的距离d＝10，所以PO→·PA→的最小值为(10)2－4＝6.16．(2014·陕西文)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)．(1)若m＝n＝23，求|OP→|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．答案(1)22(2)1解析(1)∵m＝n＝23，AB→＝(1,2)，AC→＝(2,1)，∴OP→＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．∴|OP→|＝22＋22＝22.(2)∵OP→＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n.两式相减，得m－n＝y－x.令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.17．(2015·四川雅安中学)已知向量OP→＝(2cos(π2＋x)，－1)，OQ→＝(－sin(π2－x)，cos2x)，定义函数f(x)＝OP→·OQ→.(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.答案(1)f(x)＝2sin(2x－π4)，最大，最小值分别为2，－2(2)22解析(1)∵f(x)＝OP→·OQ→＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－2.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A－π4)＝22.∴2A－π4＝π4或2A－π4＝3π4.∴A＝π4或A＝π2.又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝π4.∵bc＝8，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×22＝22.1．若△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量p＝(a＋b，c)，q＝(a－b，c－a)，若|p＋q|＝|p－q|，则角B的大小是()A．30°B．60°C．90°D．120°答案B解析由|p＋q|＝|p－q|，可得p2＋2p·q＋q2＝p2－2p·q＋q2，化简得p·q＝0.又由p·q＝(a＋b，c)·(a－b，c－a)＝a2－b2＋c2－ac＝0，可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.由B∈(0，π)，可得B＝60°，故选B.2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案D解析∵PA→＝(－2－x，－y)，PB→＝(3－x，－y)，∴PA→·PB→＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.3．设O点在三角形ABC内部，且有OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则三角形ABC的面积与三角形AOC的面积之比()A．2B.32C．3D.53答案C解析联想三角形ABC重心满足GA→＋GB→＋GC→＝0可延长OB至E使OE→＝2OB→，延长OC至F使OF→＝3OC→，则O为三角形AEF的重心从而S△AOC＝13S△AOF＝19S△AEF，S△AOB＝12S△AOE＝16S△AEF，S△BOC＝13S△BOF＝118S△AEF.∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝13S△AEF.∴S△AOC＝13S△ABC，故选C.4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．[0，π6]B．[π3，π]C．[π3，2π3]D．[π6，π]答案B解析|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，设向量a·b的夹角为θ，cosθ＝a·b|a|·|b|≤14|a|212|a|2＝12，∴θ∈[π3，π]．