【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习12.3合情推理与演绎推理基础盘点系统化AB演练理

1【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习12.3合情推理与演绎推理基础盘点系统化AB演练理A组基础演练1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．答案：C2．(2014·石家庄模拟)已知数列an：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为()A.3724B.76C.1115D.715解析：通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a99＝78，a100＝69.故a99＋a100＝3724.故选A.答案：A3．(2014·焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是()2A．0B．1C．2D．3解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．答案：C4．(2012·江西)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．92解析：由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故选B.(本题用列举法也不难找出|x|＋|y|＝20的80个不同整数解)答案：B5．(2014·大连模拟)命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”，学生小夏这样证明：设a，b与平面α分别相交于A，B，连接A，B，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，①∴a⊥AB，b⊥AB.②∴a∥b.③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．解析：在空间中，“垂直于同一条直线的两条直线平行”是假命题，故②⇒③的推理不正确．答案：②⇒③6．(2014·佛山模拟)将集合{2s＋2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为bij(i≥j＞0)，则b43＝________.解析：由三角形数表可知：b11＝3＝20＋21，b21＝5＝20＋22，3b22＝6＝2＋22，b31＝9＝20＋23，b32＝10＝21＋23，b33＝12＝22＋23，……按此规律可知：b43＝22＋24＝20.答案：207．(2014·杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.答案：S21＋S22＋S23＝S248．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝33＋3＋13＋3＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x33＋3x4＝3＋3x33＋3x＝33.9．(2014·福建质检)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2.(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinA＋B2sinA－B2；(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状．解：(1)证明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入③得cosA－cosB＝－2sinA＋B2·sinA－B2.(2)法一：cos2A－cos2B＝2sin2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝2sin2C，即sin2A＋sin2C＝sin2B.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．法二：利用(1)中的结论，cos2A－cos2B＝2sin2C可化为－2sin(A＋B)sin(A－B)＝2sinC，因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，所以－sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2(A＋B)．又因为0＜A＋B＜π，所以sin(A＋B)≠0，所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝0，从而2sinAcosB＝0，又因为sinA≠0，所以cosB＝0，即∠B＝π2.5所以△ABC为直角三角形．B组能力突破1．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8＞b5＋b7B．b4＋b8＜b5＋b7C．b4＋b7＞b5＋b8D．b5·b8＜b4·b7解析：b4＋b8－(b5＋b7)＝b4＋b4q4－b4q－b4q3＝b4(1－q)＋b4q3(q－1)＝b4(q－1)(q3－1)，∵q＞1，∴q3＞1，∴b4＋b8＞b5＋b7.答案：A2．(2014·上海闸北二模)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋nn＋2＝n2＋n＋22个区域，选C.答案：C3．(2014·海南三亚二模)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)·(n＋2)”，其结果为________．6解析：1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，n(n＋1)·(n＋2)＝14[n(n＋1)·(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]．用累加的方法即得结果．答案：14n(n＋1)(n＋2)(n＋3)4．(理科)已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*.数列{bn}满足bn＝1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和．(1)求a1、d和Tn；(2)若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n＋8·(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)在a2n＝S2n－1中，分别令n＝1，n＝2，得a21＝S1，a22＝S3，即a21＝a1，a1＋d2＝3a1＋3d，解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.∵bn＝1anan＋1＝1n－n＋＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝n2n＋1.(2)①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ＜n＋n＋n＝2n＋8n＋17恒成立．∵2n＋8n≥8，等号在n＝2时取得，∴此时λ需满足λ＜25.②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ＜n－n＋n＝2n－8n－15恒成立．∵2n－8n是随n的增大而增大，∴n＝1时2n－8n取得最小值－6，∴此时λ需满足λ＜－21.综合①②可得λ＜－21，∴λ的取值范围是{λ|λ＜－21}．4．(文科)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常7数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.解：(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝＝52n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝52(n－1)＋2＝52n－12.综上所述：Sn＝52n，n为偶数，52n－12，n为奇数.