一个分式型双向不等式定理的应用

作者简介：阳凌云(1947-)，男，湖南湘潭人，湖南工业大学数学与计算机科学系教授，主要从事函数论及数学教育理论的教学与研究；张彩霞(1982-)，女，湖南工业大学数学与应用数学本科专业2003级学生.几个不等式问题的推广与引申(湖南工业大学数学与计算机科学系，湖南株洲412007)摘要:本文应用一个分式型双向不等式定理,对国际数学竞赛和不同书刊中提到的有关不等式的证明以及求解最值问题进行探讨,并对其部分问题进行了适当推广.关键词:分式型不等式；应用；推广PopularizationandextensionofSeveralInequalityQuestionsZHANGCai-xia(DepartmentofMathematics&ComputerScience,HunanUniversityofTechnologyZhuzhouHunan412007,China)Abstract:Thispaperappliesafractionalbi-directionalinequalitytheorem,carriesonthediscussiononinequalityproofmentionedinsomeinternationalmathematicscompetitions,somebooksandperiodicals.Italsoprobesintoafewmaximumandminimumproblems,andmakessuitablepopularizationaboutsomeoftheproblems.Keyword:fractionalinequality；application；popularization1前言《数学素质教育导论》[1]一书中第227页提出了如下分式型双向不等式定理：对任意ia,ib＞0,i=1,2,…,n,则当0≤≤+1≤1时,有niiiba1≤niiniiban111(1)当1≤≤0或1≤1≤或≤0、≥0时，有niiiba1≥niiniiban111(2)当==0或=0、=1或=1、=0时，(1)、(2)式均取“=”;当≠0、≠0,且=1时,当且仅当iikba(k＞0),(1)、(2)式均取“=”;当≠0、≠0,且≠1时,当且仅当naaa21,nbbb21,(1)、(2)式均取“=”.该定理是先将幂函数xxf)(应用于Jensen加权不等式，得到一个分式型双向不等式[2],然后推广到上述分式型双向不等式定理。通过对有关不等式问题的研究，我们发现：其他大多数研究者由于其研究方法和利用已有的不等式存在一定的局限性，难于推广引申不等式问题。然而，由于该定理来源于幂函数，同时考虑到幂函数xxf)(在x＞0时属于全体实数，因此我们有理由断言该不等式定理的适用范围应当非常宽泛，即不等式成立的条件不仅更宽松，而且其结论也会更深刻。因此，本文从该定理入手，通过挖掘其潜在的应用功能，探讨不等式领域中的更多问题，体现其丰富内涵和应用价值。2(1)、(2)式的应用现对（1）、（2）式中的变元iiba，作适当的代换，同时对其指数,作适当的变形，探讨和解决国际数学竞赛和不同书刊中提到的有关不等式的证明以及求解多元函数最值等问题,一方面提高解题技巧,另一方面拓宽命题范围，以使此类问题的研究更简捷、深刻.2.1应用(1)式探讨有关问题2.1.1有关不等式求证问题中的应用与推广问题1设P是△ABC内的一点,x、y、z是P到三角形三边a、b、c的距离,R是△ABC外接圆的半径,试证zyx≤22221cbaR.现将其推广成如下命题：命题1设P是△ABC内的一点,x、y、z是P到三角形三边a、b、c的距离,R是△ABC外接圆的半径,若≥2，则有zyx≤Rcba2322221.（3）证明记s为△ABC的面积，则有RabcRabcsczbyax24·22,由条件≥2即0＜1＜1，于是应用(1)式，则有zyx111111111cczbbyaax≤11111)111()(3cbaczbyax1121cabcb23abcaRabc1121213cabcabR≤1222121213cbaRRcba2322221.根据(1)式等号成立的条件，易知：当且仅当cba,zyx时，（3）式取“＝”．2.2应用(2)式探讨有关问题2.2.1几个求解最值问题的综合研究问题2(1990年日本IMO代表队第一轮选拔赛题)设x,y,zR，且x+y+z=1,求zyx941的最小值.问题3(《数学通报》2004年第7期问题1504)已知x,y,zR,且x+y+z=1,求222811zyxu的最小值.问题4(《数学教学》2003年6月号问题)已知x,y,zR,x+2y+3z=1,求33327188116zyx的最小值.现将上述三个问题推广统一成如下命题：命题2设ix,ia,i,,kR,i=1,2,…,n.且niikipx11,qaniki111，则有nikiiixa1≥kkpq1（4）当且仅当ikikixa111=pq，i=1,2,…,n.即ixqpakiki111时，(4)式取“=”.证明由条件,应用(2)式,则有ninikikikkikiiixaxa111111≥kniikiknikikkxan11111111=kkpq1．根据(2)式等号成立的条件，易知：当且仅当ikikixa111=pq，i=1,2,…,n时，(4)式取“=”.上述三个问题,可设(4)式中xx1,yx2,zx3,3n,1p.再令(4)式中1a=1,2a=4,3a=9,1i,k=1,即得问题2,当且仅当16321zyx，即x=61,y=31,z=21时,取到最小值36；再令(4)式中1a=1,2a=1,3a=8,1i,k=2,即得问题3，当且仅当14211zyx时，即x=41,y=41,z=21时，取到最小值64；再令(4)式中1a=16,2a=81,3a=1,11,82,273,k=3,即得问题4,当且仅当1631232zyx时，即x=31，y=41，z=181时，取到最小值1296.注：此命题包含了文[3]中的推广结论.2.2.2几个不等式求证问题的综合研究问题5(第28届IMO预选题)设a,b,c是ABC的三边长,cbap2,kN,求证bacacbcbakkk≥1232kkp.问题6[4]若0ia，saaan21,p≥1,0q,则qnpnqpqpasaasaasa2211≥qpqpqsnn11问题7[5]设0ia，niiiraas1,p≥1,0q,则niqipirasa1≥qqpqprnns11当且仅当naaa21时等号成立.现将上述三个问题推广、引申成如下命题：命题3设rR，ixR，i=1,2,…,n.niixs1且irxs，则当１≤1≤或≤0、≥0时，有nnrxsxrxsxrxsx2211≥rnsn.1（5）当0≤≤1≤１时，有nnrxsxrxsxrxsx2211≤rnsn.1（6）当==0或=0、=1或=1、=0时，(5)、(6)式均取“=”；当≠0、≠0时，当且仅当nxxx21ns时，(5)、(6)式均取“=”．证明1、先证（5）式当１≤1≤或≤0、≥0时，于是应用（2）式，易知：niix12niix121≥nxnii21＝ns2再应用（２）式，则有niiirxsx1=niiiirxsxx12≥niiniiniixrxsxn12111≥nsrssn221＝rnsn1．2、次证（6）式当0≤≤1≤１时，于是应用（１）式，则有niiirxsx1≤niiniixrnsxn111＝rsnssn1＝rnsn1．根据（１）、（2）式等号成立的条件，不难知道：当==0或=0、=1或=1、=0时，(5)、(6)式均取“=”；当≠0、≠0时，当且仅当nxxx21ns时，(5)、(6)式均取“=”．令(5)式中ax1,bx2,cx3,3n,ps2,1r,k,1,即得问题5.令(5)式中iiax,1r,p,q,即得问题6.令(5)式中iiax,p,q,即得问题7.注：命题３中的（5）式是问题5、6、7的推广，且比问题7中不等式成立的条件更宽松；（6）式则是问题7的引申．参考文献[1]阳凌云等著.数学素质教育导论[M].长沙：湖南科学技术出版社,2005：227[2]阳凌云,郑光辉.一个不等式的衍生[J].株洲师范高等专科学校学报,2002,(2)：15[3]许建东.第64届普特兰数学竞赛A2题的推广及应用[J].数学通讯,2006，(1)：24[4]李再湘.一个不等式的演变[J].数学通报,2003，(8)：21[5]杨学枝.不等式研究[M].拉萨：西藏人民出版社,2000：57