一元二次方程根的分布

第1页共5页一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx。【定理1】01x，02x000421212acxxabxxacb，推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。xy02ab1x2x0aO0c0xy1x2xO0c0a02ab0例1若一元二次方程0)1(2)1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围。第2页共5页【定理2】01x，02x000421212acxxabxxacb，推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb由二次函数图象易知它的正确性。xy1x2x0aO0c002abxy1x2xO0c0a002ab【定理3】210xx0ac例3k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？【定理4】○101x，02x0c且0ab；○201x，02x0c且0ab。xy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02ab第3页共5页xy1x2xO02ab0axy1x2x0aO02ab例4若一元二次方程03)12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。【定理1】21xxkkabkafacb20)(042xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理2】kxx21kabkafacb20)(042。第4页共5页xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理3】21xkx0)(kaf。0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf推论1210xx0ac。推论2211xx0)(cbaa。【定理4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkfxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf【定理5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理4推出，请读者自证。第5页共5页【定理6】2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacbxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2