一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

第1页共4页一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回顾与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进行有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q=0的根是x1和x2，则x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②已知方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5)常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．第2页共4页【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0(2)9x2+6x+1=0(3)16x2+8x=–3(4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0(6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)若关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）．【例3】(1)已知关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)已知方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求下列式子的值：①(x1–3)(x2–3)②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。【例6】(1)已知：x1、x2是方程x2–x+a=0的两个实数根，且1x12+1x22=3，求a的值.(2)关于x的方程kx2+(k+1)x+k4=0有两个不相等的实数根.①求k的取值范围；②是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.第3页共4页一、慎重抉择(每小题3分，共30分)1．一元二次方程x2–3x–4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2．下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x–1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=03．已知关于x的方程(k–1)x2+kx+1=0有实根，则k的取值范围是（）A．k≠2B．k2C．k2且k≠1D．k为一切实数4．方程组ax–y=1x+by=8的解是x=2y=3，那么方程x2+ax+b=0（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个根为2和35．已知关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（）A．－2B．－1C．0D．16．关于x的方程k2x2+(2k–1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是()A.当k=12时，方程两根互为相反数B.当k≤14时，方程有实数根C.当k=0时，方程的根是x=–1D.当k=±1时，方程两根互为倒数7．方程x2–3x–6=0与方程x2–6x+3=0的所有根的乘积为()A.–18B.18C.–3D.38．一元二次方程x2–3x+1=0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值是（）Ａ．3Ｂ．–3Ｃ．13Ｄ．–139．若a，b是方程x2+2x－2010=0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（）A．－2007B．2008C．2009D．20109．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=–1，则m的值是（）Ａ．3或–1Ｂ．3Ｃ．1Ｄ．–3或110．关于x的一元二次方程x2–kx+2k–1=0的两个实数根分别是x1，x2，且x12+x22=7，则(x1–x2)2的值是（）A．1B．12C．13D．25二、仔细填空(每小题4分，共20分)11．已知方程x2–mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m=，n=.12．若x1=3–2是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2=.13．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝时，两根互为倒数；当m＝时，两根互为相反数.14．以2+1，2–1为两根的一元二次方程是。15．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=–2，则x2+mx+n分解因式的结果是_．三、知识理解(每小题6分，共12分)16．证明(x–1)(x–2)=k2有两个不相等的实数根．四、技能掌握(每小题6分，共12分)18．已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(α+1)(β+1)；(2)αβ+βα第4页共4页19．已知：实数a、b满足条件a2–7a+2=0，b2–7b+2=0，且a≠b，求ab+ba的值五、问题解决(每小题8分，共16分)20．已知x1，x2是关于x的方程x2–2(m+2)x+2m2–1=0的两个实根，且满足x12–x22=0，求m值．21．已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+m–3=0总有实数根.(1)求m的取值范围.(2)若m在取值范围内取最小正偶数时，方程是否有两个根，若有，设两根为x1、x2，求：3x12(1–4x2)的值；若没有说明理由.22.先阅读第①题的解法，然后再做第②题.①已知,是方程0872xx的两根，且，不解方程，求232的值.解：设,322m,322n,是方程0872xx的两根，8,7又，174)(24403323222nm，17485323222nm1748544032m，178858403m②已知,是方程0222xx的两根，且，不解方程，求33的值.