一元微积分A前三章练习题3答案

113-14-3一．填空题(每空3分，共21分)1．极限0sinln(1)lim1cosxxxx2.2．设函数3xyxe，则微分dy2(3)xxexdx.3．由方程ln1xyy确定的函数为(),yfx则0xdydx=2e.4．已知函数,0()sin,0xexfxbaxx在0x处可导，则a-1，b1.5．曲线yx上与直线122xy平行的切线方程是1122yx.6．曲线sinyx在点(,1)2处的曲率半径为1.二、单项选择题(每小题3分，共18分)1．设()1cos3fxx，则当0x时，（D）（A）()fx与2x是等价无穷小;（B）()fx是比2x高阶的无穷小;（C）()fx是比2x低阶的无穷小;（D）()fx与2x是同阶但非等价无穷小.2．函数2(cosln(2))yx的复合关系是（B）．（A）2,cosln,2yuuvvx；（B）2,cos,ln,2yuuvvwwx；（C）2cos,ln,2yuuvvx；（D）2cos,,ln(2)yuuvvx.3．点3x是229()6xfxxx的（B）.（A）连续点；（B）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）无穷间断点．4．如果函数()yfx二阶可导，(0)0f，且0lim()1xfx，则(0)f（A）（A）是()fx的极小值;（B）是()fx的极大值;2（C）不是()fx的极值;（D）不一定是()fx的极值.5．3()fxx在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的（B）（A）33;（B）33;（C）3;（D）3.6．设2,0()(1),0xaxfxaxx，则()fx处处连续的充分必要条件是（A）（A）0a；（B）1a;（C）2a;（D）1a.三、计算题（每小题6分，共36分）1．求极限02lim1cosxxxeex.解：原式=20002limlimlim2/21xxxxxxxxxeeeeeexx2.已知函数2ln(1)arctancos3xyxe，求dydx.解：22211xxdyxedxxe3．设()yyx是由方程2()ln()yxxyxy所确定的隐函数，求dy.解：121(1)ln()()(1)(1)ln()1yyxyxyyxyyxyy2ln()3ln()xydydxxy4.设()(sin)xfxx，求dydx．解：lnln(sin)ln(sin)xyxxx，1cosln(sin)sinxyxxyxcos(sin)(ln(sin))sinxxyxxxx35.设2(sin)2(1cos)xttyt确定了函数()yyx,求dydx，22dydx.解：2(1cos)dxtdt，2sindytdt，所以sin1cosdytdxt2222sinsin1()()1cos1coscos1cossin(sin)11(1cos)2(1cos)2(1cos)dydtdtdxdxdxtdttdtttttttt6.求函数3223121yxxx图形的凹凸区间及相应曲线的拐点.解：216612,126122yxxyxx，令0y，得12x当12x时，0y，得凸区间1,2；当12x时，0y，得凹区间1,2。四、应用题（第1小题10分,第2小题7分，共17分）1．在曲线21yx(0)x上求一点，使得曲线在该点的切线与两坐标轴所围三角形的面积为最小．解：设曲线的切点00(,)xy满足2001yx，由2yx，过切点00(,)xy的切线方程0002()yyxxx，与坐标轴交点220001(0,1),(,0)2xxx，面积22300000001111()(1)2224xSxxxxxx，0(0)x2200200220031111()3244xxSxxxx，令0()0Sx，得唯一驻点033x，4所以033x即为所求最小值点，对应曲线切点为32,33。2．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内半径是0R，壁厚为h，利用微分来计算这个圆环面积的近似值.解：圆面积公式为2AR,…………………………（3分）则022RdRRAdAh……………………（6分）五、证明题（8分）设函数()fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)上()0fx，(0)(1)0ff，对于任意的实数(0,1)c，证明：至少存在一点(0,1)，满足()()ffc．证明：设()()()Fxfxfxc，在[0,1]c上连续，且(0)(0)()()0Fffcfc，(1)(1)(1)(1)0Fcfcfccfc，由零点定理，至少存在一点(0,1)(0,1)c，使得()0F，即()()ffc。