一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用

毕节学院本科毕业论文（设计）第1页共11页一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用摘要首先，通过解一类特殊的常微分方程，归纳猜想出该类微分方程的一般解，再给予证明。在证明过程中，我们揭示了该类微分方程与一般解是通过一对等价的向量组相关联的。关键词：线性相关；线性无关；极大线性无组；向量组等价姓名：李锦华题目：一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用第2页共11页AGROUPOFEQUIVALENTOFPROOFANDYANKEESINNORDERLINEARDIFFERENTIALEQUATIONOFAPPLICATIONABSTRACTFirstofall,bysolvingaspecialkindofordinarydifferentialequations，Inductionandguessoutsuchageneralsolutionofthedifferentialequationandtoprove.Intheproofprocess,Werevealthegeneralsolutionofdifferentialequationandthisisthroughapairofequivalentvectorgroupassociated.Keywords：Linearcorrelation;Linearlyindependent;Maximallinearnogroup;Vectorgroupequivalent毕节学院本科毕业论文（设计）第3页共11页目录摘要...................................................1ABSTRACT.................................................21引入..................................................42说明....................................错误!未定义书签。2.1N阶微分方程............................................................52.2线性相关...............................................错误!未定义书签。2.3线性无关...............................................错误!未定义书签。2.4向量组等价.............................................错误!未定义书签。3证明推测................................错误!未定义书签。4应用....................................错误!未定义书签。小结..................................................11参考文献................................................11致谢..................................................11姓名：李锦华题目：一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用第4页共11页1引入解下列常微分方程：○1dyydx一般解为：xye；○222540dydyydxdx通解为：412xxycece20122...0nnndydydyayaaadxdxdx通解为：这里12,cc是任意常数。由上两个实例我们是否可以推测出下列方程和通解为：312123nbxbxbxbxnyaeaeaeae2说明毕节学院本科毕业论文（设计）第5页共11页2.1n阶微分方程：11111(,,,...,)0,...,(,,,...,)0()...()()()(),...,(),()nnnnnnnnnnnnndydydydyFxydxdxdxdxdydyFxyndxdxdydydyaxaxaxyfxdxdxdxaxaxfxx如果方程的左端为y及的一次有理数式,则称为阶线性微分方程.一般n阶线性微分方程具有形式:这里是的已知函数120122(),...,(),()0,...0nnnnaxaxfxndydydyayaaadxdxdx如果为常数则得到这样一个特殊的阶线性微分方程,012,,,...,naaaa为常数。习惯上我们令:23'''(3)()23,,,,nnndydydydyyyyydxdxdxdx2.2线性相关nK中向量组123naaaa（n≥1）称为线性相关，如果有K中不全为零的数12,,,nkkk使得11220nkakak.2.3线性无关如果从姓名：李锦华题目：一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用第6页共11页11220nkakak可以推出所有系数12,,,nkkk全为0，则称向量组123naaaa是线性无关的.2.4向量组等价如果向量组123naaaa的每一个向量都可以由向量组12,(,,)r线性表出，则称123naaaa可以由12,(,,)r线性表出。如果123naaaa与向量组12,(,,)r互相线性表出，则称向量组123naaaa与12,(,,)r等价，记作：123naaaa≌12,(,,)r3证明推测由于20122...0nnndydydyayaaadxdxdx的通解为：312123nbxbxbxbxnyaeaeaeae知：'''(3)()nyyyy与等价312nbxbxbxbxeeee要证明20122...0nnndydydyayaaadxdxdx的通解为：312123nbxbxbxbxnyaeaeaeae毕节学院本科毕业论文（设计）第7页共11页只要证明'''(3)()nyyyy与312nbxbxbxbxeeee等价即可。下面进行证明：已知一组基M=312nbxbxbxbxeeee，y∈M，，则存在一级数123naaaa，使得：312123nbxbxbxbxnyaeaeaeae且有：312'112233nbxbxbxbxnnyabeabeabeabe312''2222112233nbxbxbxbxnnyabeabeabeabe312(3)3333112233nbxbxbxbxnnyabeabeabeabe312()112233nbxbxbxbxnnnnnnnyabeabeabeabe'''(3)()nyyyy可由312nbxbxbxbxeeee线性表出证明以下三项：1、'''(3)()nyyyy是线性无关;2、'''(3)()nyyyy是极大无关组;3、'''(3)()nyyyy与312nbxbxbxbxeeee等价。1、设存在一组数123nkkkk，使'''()110nnkykyky即：姓名：李锦华题目：一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用第8页共11页123423123231112113111123122222322222313323333333()()()()..........................................bxnnnnnnnnnnbxnnbxnnbxnnykabkabkabkabekabkabkabkabekabkabkabkabekabkabkabkabe2312312.......................()nbxnnnnnnnnnnkabkabkabkabeaaa因为312nbxbxbxbxeeee线性无关，所以有：2311121131111231222223222223123000nnnnnnnnnnnnnkabkabkabkabkabkabkabkabkabkabkabkab令：12322221233333123123nnnnnnnnbbbbbbbbBbbbbbbbb，123000000000000naaAaa，123nkkKkk所以有：0ABK,因为范德蒙行列式，123,,,,nbbbb两两不相等，毕节学院本科毕业论文（设计）第9页共11页所以B=11()0nmijmjinbbb，A=10niia，,AB都为可逆矩阵,K=0，K只有零解。所以'''(3)()nyyyy线性无关。因为'''(3)()nyyyy可由312nbxbxbxbxeeee线性表出所以dim'''(3)()nyyyydim312nbxbxbxbxeeee所以dim'''(3)()nyyyy=n所以'''(3)()nyyyy是一组极大线性无关组。3、下面证明'''(3)()nyyyy与312nbxbxbxbxeeee等价。设存在一组数123nkkkk使：'''()11nnykykyky,则：123423123231112113111123122222322222313323333333()()()()..........................................bxnnnnnnnnnnbxnnbxnnbxnnykabkabkabkabekabkabkabkabekabkabkabkabekabkabkabkabe23123.......................()nbxnnnnnnnnnkabkabkabkabe由于312123nbxbxbxbxnyaeaeaeae，所以：姓名：李锦华题目：一组等价基的证明及在n阶线性微分方程中的应用第10页共11页2311121131111231222223222223123000nnnnnnnnnnnnnkabkabkabkabkabkabkabkabkabkabkabkab令12naaa，所以ABK，11KBA，所以K有唯一解。'''()11nnykykyky,所以任意的y∈312nbxbxbxbxeeee,可由'''(3)()nyyyy所以312nbxbxbxbxeeee与'''(3)()nyyyy等价4应用关于'''(3)()nyyyy与312nbxbxbxbxeeee等价的应用可应用于解下形式的微分方程：对于下面形式的常微分方程：'''()11nnykykyky，由上述证明过程知它的一般解为：312123nbxbxbxbxnyaeaeaeae其中：123nkkkkk,12naaa毕节学院本科毕业论文（设计）第11页共11页12322221233333123123nnnnnnnnbbbbbbbbBbbbbbbbb,123000000000000naaAaaKAB,,,KAB已知。小结本文通过解常微分方程导出了，经过我们严格的证明确是一对等价的向量组，进而应用向量组等价这一关系来解常微分方程，充分体现了线性代数做为解常微分方程的一种工具，可以直观的了解到一般解的结构。本文化拓宽了解常微分方程的视野，证明过程更是充分体现了数学的完美。参考文献[1]陈传璋,金福临等.数学分析[M]，北