一道IMO试题的推广定理

1一道IMO试题的推广定理第29届IMO有这么一道试题,设a，b为正整数，若ab+1整除a2+b2，试证:122abba必是某一个正整数的平方。本文，旨在借助于Fermat的无穷递降法，证明其推广定理以及这个推广定理的充分条件，同时将指出上述试题乃是本文定理的一个特殊情形，颇为新颖有趣。定理1设a，b，c为正整数，若abc+1整除a2+b2，则122abcba必是某一个正整数的平方。证明：因为a，b，c为正整数且abc+1整除a2+b2，设122abcba=k①其中k不是某一个正整数的平方，由①得a2-abck+b2-k=0②这是一个不定方程，今用反证法，设②有正整数解，而(a,b)是②中所有正整数解中a+b的最小值，并设a≥b，今把②看作a的一元二次方程，它的一个根为a，另一个根为a0，由韦达定理可知：a+a0=kbc③aa0=b2-k④由③可知a0是一个整数，显然a0不等于零，否则k=b2这与假设相矛盾，故a0≠0再则a0也不能为负数，事实上，若a0＜0，则-a0﹥0，∴-a0bc﹥0从而-a0bc≥1，故1+a0bc≤0，2于是a02+b2≤0，但这不可能，因a02与b2都是正整数，故a0﹥0由④可知：a0=akb2≤aka2≤aa12=a-a1＜a即得a0a⑤，于是a0+b＜a+b⑥但⑥不可能成立，因它与a+b的最小性相矛盾，因此②没有正整数解，换言之，这里k必是某一个正整数的平方。特别是当c=1,2,3,时，应用定理1可分别得到如下结果即是：推论10，设a,b为正整数，若ab+1整除a2+b2,则122abba必是某一个正整数的平方。推论20，设a,b为正整数，若2ab+1整除a2+b2，则1222abba必是某一个正整数的平方。推论30，设a,b为正整数，若3ab+1整除a2+b2，则1322abba必是某一个正整数的平方。应当指出的是，本文定理1的推论10即是第29届IMO一试题的证明或结论，由此可见定理1乃是其推广定理。下面，这里再给出abc+1整除a2+b2的一个充分条件，即是定理2设a,b,c为正整数，则abc+1整除a2+b2的一个充分条件是a=b3c证明：因为a,b,c为正整数a=b3c①由①得a2=ab3c②由②两端同加于b2得a2+b2=b2(abc+1)③3故abc+1整除a2+b2例如：a=24=3*22∴b=2,c=3由定理2可知24*2*3+1整除242+22即12*3*2422422=4（甲）由（甲）尚可进一步的得到：13*24228824228822）（）（=4即是413*24*2862428622＝（乙）注意到a=286=2*11*13≠243*3由（乙）知：定理2仅是abc+1整除a2+b2的充分条件但不是必要条件。主要参考资料：1、何国栋：初等数论海南出版社1992年2、陈传理：高中数学竞赛基础教程华中师大出版社1995年3、邱天绪，邱树华：一类方程没有正整数解的几个判别法则数学通讯1996（9）作者简介：邱树华，女，（1965——），湖北省老河口广播电视大学高级讲师，