一道高考涂色题的探究

一道高考涂色题的探究高考试题是所有试题中的精品，是命题专家们智慧的结晶，它对高中的数学教学有一定的方向性和指引性.“涂色型”的排列组合问题,是通过实际问题情境给出图形按要求涂色的一种排列组合题型,是近几年试题改革的一个新的亮点.此类试题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力.解决此类问题的关键是找准突破口，进行分类讨论.本人认真做完了2010高考的各大省文理科数学试题，并认真分类整理，收获颇多.其中2010年高考天津卷理科第10题：涂色问题，本人进行了认真思考，提出了多种解法、自己的见解，现整理如下,供大家参考.(2010年高考天津卷理科第10题)如图1，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有________种.试题分析：本题考查排列应用题中的涂色问题，考查分类、分步计数原理，考查学生的运算推理能力以及分类讨论的思想.1.解题思路解法一:按选用颜色种数进行分类.【解析】分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有A必与F颜色相同、C与E颜色相同，故241144A种方法.（2）B、D、E、F用三种颜色，则有：B、E同色或D、F同色必有其一，若B、E同色，则A有异于B和D的两种颜色，C只有一种，D、F同色同理，12234A；B与D同色，则A、C都有异于B、E两种选择，2234A，故12234A+2234A=192种.（3）B、D、E、F用二种颜色，只能B、E同色，D、F同色，A、C有异于B、D两种颜色，则有242248A，所以共有不同的涂色方法有24+192+48=264种.解法二：利用“捆绑法”,分步着色.【解析】第一类：用三种颜色涂色，A、D、E颜色各不相同，若B与E同色，必有C与A、F与D同色，可将C与A看作一个整体，F与D看作一个整体;若B、D同色同理，故234A种.第二类：四种颜色（都用）涂六个点，必有4个点的位置颜色不同，即这六个点中必有两组点同色，看作一个整体，而这两组必为：AF、AC、BE、BD、CE、DF中的两组，如下：（AF、BE），（AF、BD），（AF、CE），（AC、BE），（AC、BD），（AC、DF），（BE、DF），（BD、CE），（CE、DF）共9种，944A，共有不同的涂色方法有234A+944A=264种.解法三：着眼于“位置”：以四边形ABCD为主分类、分步进行涂色.【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，先涂四边形ABCD的4个顶点，有34A种，必有AC图1CFBDEA或BD颜色相同，若AC颜色相同，E、F颜色唯一确定。BD同色同理，故234A种.第二类：四种颜色全都用上，（1）先用两种颜色涂矩形ABCD的4个顶点，必有AC与BD颜色相同，剩下两种颜色E、F排列，故有1224A种；（2）先用三种颜色涂矩形ABCD的4个顶点，第一步选三种颜色34A，必有AC或BD颜色相同，E有异于A、D两种颜色，F随之确定，故有12234A种；（3）4种颜色先全部涂在矩形上，E有异于A、D两种颜色，F有异于B、C两种颜色，2244A.共有不同的涂色方法234A+1224A+12234A+2244A=264种.解法四：类比空间三棱柱ADE-BCF如图2.【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，设上一层A,D,E的颜色分别为a、b、c排列，下层仍然是颜色a、b、c排列，有2种方法，故有34A×2种.第二类：四种颜色全都用上，设上一层A,D,E的颜色分别为a、b、c排列，下层包括第四种颜色d，但不包括abc中某一个颜色(例如a)，对于d与a在同一侧棱上时，只有1种方法，对于d与a不在同一侧棱上的情形，有2种方法，（即d可以涂在BCF三点中的任意一个点，有三种方法，而d涂在其中的一个点，另外两个点都对应着3中涂法）那么这种情形共有3×3=9种方法，故有34A×9种.故共有不同的涂色方法总数为34A×11=264种方法.解法五：①用四种颜色涂ABCD四个点，则E有异于A、D两种颜色，F有异于B、C两种颜色，即2244A.②用三种颜色涂ABCD四个点，则必有AC或BD同色，当AC同色时，E、F有三种涂色方法，如ABD依次涂abd三种颜色，则有E：b,F:d;E:b,F:c;E:c,F:d三种涂法，故3423A.③用两种颜色涂ABCD四个点，则AC和BD同色，EF有两种涂色方法，即2242AA.故共有2244A+3423A+2242AA=264.评注本题属于以涂色为平台的排列组合应用题,考查分类、分步计数原理.解法一抓住了这种题型的一个核心——颜色,从颜色入手进行突破；解法三抓住了这种题型的又一个核心——位置,从位置入手进行突破，这两种求解招数是求解这类题目的典型的正面直接求解法.解法二利用“捆绑法”,分步着色；解法四类比空间几何体，这两种求解招数是求解这道题目的创新解法，应具体题目具体分析.解决问题的关键是依据题意,找到一个确定的标准,合理对问题进行分类或分步,但必须注意分类讨论要全面,要做到不重不漏.事实上,“涂色型”的排列组合问题错综复杂,解法灵活多样.因此,对于它们的求解方法,一定要具体问题具体分析.以上只是本人一孔之见,希望能抛砖引玉.图2FEDCBA2.历年考题考题1(2007年天津高考题)如图3,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有_______种.(用数字作答)考题2(2003年江苏高考试题)如图4，某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____种.(以数字作答)考题3(2003年全国高考题)如图5,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有___种.(以数字作答)3．欣赏理由以“四色定理”为背景是本题的一大亮点.新课改关注了数学史的内容，关注了数学史中包含着的数学概念、方法、思想的起源，让数学史走进课堂有重要的教育价值，不仅可以激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维，而且可以帮助学生更好地理解数学.鉴于这一点，在教学过程中我们应该多关注以数学史为背景的题目，这也符合新课改的基本理念.与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想.解决涂色问题的方法技巧性强且灵活多变,故这类问题的解决有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力.4.回顾反思数学教学工作者在习题课设计例题时常采用的策略:(1)一题多解,展示多种解题思路,提高综合分析能力;(2)一题多变,变换条件和考查方式,多方考查;(3)多题归一,总结解题规律.教师要能够在这些课上挥洒自如，必须有较强的教学基本功，特别是对年轻老师来说是一个很大的考验.作为年轻老师，本人觉得要在平时多做题，多总结，多反思，才能在习题课上有所起色.另外，我们应发挥高考试题的前瞻性和指导性，探究其蕴含的数学思想和方法，取长补短，为己所用.图4654132图3