一题多解专题七利用基本不等式求最值

一题多解专题七：利用基本不等式求最值适用人教新课标A版必修5第11期第四版素质提高帮你归纳作者：郭天总河北省永年县第二中学电话：[phone]邮编：057151电子信箱：[e-mail]用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键.此外，若两次连用均值不等式，要注意取等号的条件的一致性，否则可能会出错.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立的条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.例、已知正数a,b满足311ba，求ba的取值范围。思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311ba将ba中的b用a表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311ba变形，获得ba与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立ba的不等式求解.解析：方法一：由311ba得abba3，13aab，由于a0,b0，可得31a，于是)31(9131131133113aaaaaaaaba3432)31(91)31(232)31(9131aaaa，当)31(9131aa，即32a时取等号，ba的取值范围是),34[方法二：由311ba得abba3.又2)2(baab，所以2)2(3baba，即4(a+b)≤2)(3ba，所以34ba，即ba的取值范围是),34[方法三：由311ba得13131ba，34332323332)3131)((abbaabbabababa，当且仅当abba33，即32ba时取等号，所以ba的取值范围是),34[方法四：由311ba得abba3（1）设tba，则atb，代入（1）式得)(3atat整理得0332ttaa，又由311ba得31a，即方程0332ttaa在),31(上有解，令ttaaag33)(2，则0)31(31323034)3(33)(22gtttttaaag解得34t，所以ba的取值范围是),34[运用基本不等式求最值的技巧：1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后，在运用基本不等式。2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值.针对性练习：1.已知a＞0,b＞0,131,ab则a+2b的最小值为()(A)726(B)23(C)723(D)14解析：选A.133a2ba2ba2b()16726,abba∴a+2b的最小值为726.2.若-4＜x＜1，则2x2x2f(x)2x2()(A)有最小值1(B)有最大值1(C)有最小值-1(D)有最大值-1解析：选D.2x2x211f(x)x1,2x22x1［］又∵-4＜x＜1,∴x-1＜0,-(x-1)＞0.11f(x)(x1)12(x1)［］，当且仅当1x1,x1即x=0时，等号成立.故选D.3.已知点P(x，y)在直线x+y-4=0上，则2x+2y的最小值为_________.解析】∵点P(x,y)在直线x+y-4=0上，∴x+y=4xyxy22228(当且仅当x=y=2时等号成立).4.已知0＜x＜1，则4ylgxlgx的最大值为_________.解析】∵0＜x＜1，∴lgx＜0，-lgx＞0.4ylgx()244lgx，即y≤-4.当且仅当41lgxxlgx100，即时等号成立，故ymax=-4.5.已知函数2x2y(x2).xx1＞(1)求1y的取值范围；(2)当x为何值时，y取何最大值？解析】(1)设x+2=t,x=t-2,t＞0(∵x＞-2),则2221xx1(t2)(t2)1t3t3yx2tt3t3233t，∴所求范围为233,).［(2)欲使y最大，必1y最小，此时3t,t3,x32,t233y3，∴当x32时，y取最大值为233.36.已知a0,b0，a+b=2,则14ab的最小值是()(A)72(B)4(C)92(D)5解析】选C.由已知可得14ab1412ab()2ab2ab2b2a≥52ab922b2a2，当且仅当24ab33，时取等号，即14ab的最小值是92.7.若a0,b0,且a+b=1，则ab+1ab的最小值为()(A)2(B)4(C)174(D)22解析】选C.由a+b=1，a0,b0得112abab1,ab,ab.24令ab=t,则0t≤14,则11abtabt，结合函数的图象可知t+1t在(0,14］上单调递减，故当t=14时,t+1t有最小值为14+4=174.8.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为()(A)5(B)7(C)8(D)9解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，因此m2,n1,(m2)(2n2)8.于是4n1.m2所以444mnm1m232(m2)37.m2m2m2当且仅当4m2,m2即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.