一题多解专题十六求直线方程常用基本方法

一题多解专题十六：求直线方程常用基本方法例1：求经过直线0123:1yxl和0125:2yxl的交点，且垂直于直线0653:3yxl的直线l的方程.【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解.法一：先解方程组01250123yxyx得21,ll的交点坐标为(-1，2)，再由3l的斜率53求出l的斜率为35，于是由直线的点斜式方程求出l的方程，整理得0135yx.法二：由于3ll，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过21,ll的交点(-1，2)，故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为0135yx.法三：由于l过21,ll的交点，故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率352253，解得51代入直线系方程即得l的方程为0135yx。例2、若直线l过点)2,1(且与直线0432yx垂直，则直线l的方程为_______.【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为32k，设所求直线的斜率为k′，∵所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，∴k·k′=-1,∴所求直线方程为)1(232xy，即:3x+2y-1=0.方法二：由已知,设所求直线l的方程为：3x+2y+C=0.又l过点)2,1(,∴3×(-1)+2×2+C=0,得:C=-1,所以所求直线方程为3x+2y-1=0.针对性练习：1、模拟)若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离为________.解析】由两直线平行的条件得3m=4×6,解得m=8,此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0，∴两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为2273d2.342.已知直线l的倾斜角为34，直线l1经过点A(3，2)和B(a,-1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x+by+1=0，且直线l2与直线l1平行，则a+b等于_________.解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1，l1的斜率为3.3a∵直线l与l1垂直，∴313a，得a=0.又∵直线l2的斜率为2,bl1∥l2,∴2b=1,b=-2.因此a+b=-2.