2005年高考理科数学(全国二卷)真题

12005年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)《理科数学》试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24RS如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k334RV次的概率knkknnPPCkP)1()(其中R表示球的半径一、选择题：1．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）A．4B．2C．πD．2π2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形3．函数)0(132xxy的反函数是（）YCY2A．)1()1(3xxyB．)1()1(3xxyC．)0()1(3xxyD．)0()1(3xxy4．已知函数)2,2(tan在xy内是减函数，则（）A．0≤1B．－1≤0C．≥1D．≤－15．设a、b、c、d∈R，若dicbia为实数，则（）A．bc+ad≠0B．bc－ad≠0C．bc－ad=0D．bc+ad=06．已知双曲线13622yx的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（）A．563B．665C．56D．657．锐角三角形的内角A、B满足tanA－A2sin1=tanB，则有（）A．sin2A－cosB=0B．sin2A+cosB=0C．sin2A－sinB=0D．sin2A+sinB=08．已知点A（3，1），B（0，0）C（3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有其中,CEBC等于（）A．2B．21C．－3D．－319．已知集合M={x|x2－3x－28≤0},N={x|x2－x－60}，则M∩N为（）A．{x|－4≤x－2或3x≤7}B．{x|－4x≤－2或3≤x7}C．{x|x≤－2或x3}D．{x|x－2或x≥3}10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（）A．（－2，4）B．（－30，25）C．（10，－5）D．（5，－10）11．如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8a4a5B．a1a8a4a5C．a1+a8a4+a5D．a1a8=a4a512．将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（）3A．3623B．3622C．3624D．36234第Ⅱ卷本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为.14．设为第四象限的角，若2tan,513sin3sin则=.15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个.16．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）设函数xxfxfxx22)(,2)(|1||1|求使的取值范围.YCY418．（本小题满分12分）已知}{na是各项均为正数的等差数列，1lga、2lga、4lga成等差数列.又.,3,2,1,12nabnn（Ⅰ）证明}{nb为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列}{nb各项的和31S，求数列}{na的首项a1和公差d.（注：无穷数列各项的和即当n时数列前n项和的极限）519．（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.621．（本小题满分14分）P、Q、M、N四点都在椭圆1222yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知.0,,MFPFFNMFFQPF且线与共线与求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.22．（本小题满分12分）已知.)2()(,02xeaxxxfa函数（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设)(xf在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.72005年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)《理科数学》答案1-6:CDBBCC7-12:ACACBC13.22(1)(2)4xy;14.34.15.192；16.①，④17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分12分解：由于2xy是增函数，()22fx等价于3|1||1|2xx①（1）当1x时，|1||1|2xx，①式恒成立。（2）当11x时，|1||1|2xxx，①式化为322x，即314x（3）当1x时，|1||1|2xx，①式无解综上x的取值范围是3,418.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。（Ⅰ）证明：1lga、2lga、4lga成等差数列，2142lglglgaaa，即2214aaa又设等差数列na的公差为d，则2111()(3)adaad，即21dad10,0dda，12(21)2nnnaadd，21112nnnbad这时nb是首项112bd，公比为12的等比数列。（Ⅱ）解：如果无穷等比数列nb的公比1q，则当n时其前n项和的极限不存在。因而10da，这时公比12q，112bd，这样nb的前n项和11[1()]22.112nndS则11[1()]122limlim.112nnnndSSd8由13S得公差3d，首项13.ad19.本小题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P（＝3）＝330.60.40.28比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。因而P（＝4）＝2230.60.40.6C＋2230.40.60.40.3744C比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而P（＝5）＝22240.60.40.6C＋22240.40.60.40.3456C所以的概率分布为345P0.280.37440.3456的期望E＝3×P（＝3）＋4×P（＝4）＋5×P（＝5）＝4.065620.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分12分。证明：（Ⅰ）证明：连结EP，PD底面ABCD，DE在平面ABCD内，PDDE。又CE＝ED，PD＝AD＝BC，,.RtBCERtPDEPEBEF为PB中点，∴.EFPB由三垂线定理得PAAB，∴在RtPAB中，PF＝AF。又PE＝BE＝EA，,.RtEFPRtEFAEFFAPB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF平面PAB。（Ⅱ）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，PA＝2，AC＝3∴PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AFPB。9PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB平面AEF。连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH平面AEF，GAH为AC与平面AEF所成的角。由EGC∽BGA可知EG＝11223,,2333GBEGEBAGAC，由ECH∽EBF可知1133GHBF，∴3sin.6GHGAHAG∴AC与平面AEF所成的角为3arcsin.621.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k。又PQ过点F（0,1），故PQ方程为1ykx，将此式代入椭圆方程得22(2)210kxkx设P、Q两点的坐标分别为11,xy、22,xy，则212222kkxk，222222kkxk从而222221212228(1)||()()(2)kPQxxyyk，2222(1)||2kPQk（1）当0k时，MN的斜率为－1k，同上可推得22122(1())||12()kMNk10故四边形的面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52kkkkSPQMNkkkk令221ukk，得4(2)12(1)5252uSuu因为2212ukk，当1k时，162,9uS，且S是以u为自变量的增函数，所以162.9S（2）当0k时，MN为椭圆长轴，||22,||2MNPQ，1||||22SPQMN综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为16.922．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。满分12分。解：（I）对函数()fx求导数，得22()(2)(22)[2(1)2].xxxfxxaxexaexaxae已知0a，函数xeaxxxf)2()(2．（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．令0)(xf，得2[2(1)2]0xxaxae，从而22(1)20xaxa，解得2111xaa，2211xaa，其中12xx当x变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x1,x1x12(,)xx2x2,x)(xf＋0－0＋)(xf极大值极小值当)(xf在1xx处取到极大值，在2xx处取到极小值。当0a时，11x，20x，)(xf在12(,)xx上为减函数，在2,x上为增函数，11而当0x时，()(2)0xfxxxae；当0x时，()