《二次函数》复习指导

-1-《二次函数》复习指导函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力.中考链接二次函数是中考命题的重点，主要考查二次函数的图象、性质及表达式的确定，在填空题、选择题和解答题中都有出现，特别喜欢与方程、几何等知识综合编拟压轴题.考点浏览1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画二次函数的图象，能结合图象理解二次函数的性质；3、会利用配方法和公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题；知识梳理1、定义：形如cbxaxy2（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.二次函数的一般形式是cbxaxy2（a≠0），还可以用配方法化为khxay2)(的形式，它可直接看出其顶点坐标为（kh,），故把khxay2)(叫做二次函数的顶点式.2、图象：二次函数的图象是抛物线，它是轴对称图形，其对称轴平行于y轴.注意：二次函数cbxaxy2的图象的形状、大小、开口方向只与a有关，所以，cbxaxy2的图象可通过2axy的图象平移得到．平移可按照如下口诀进行：上加下减，左加右减，即向上或向左用加，向下或向右用减.例如，将22xy向左平移1个单位为212xy，再向下平移3个单位为3122xy．3、性质一般式cbxaxy2顶点式khxay2)(开口方向a﹥0向上向上a﹤0向下向下顶点坐标（abacab44,22）（kh,）对称轴直线abx2直线hx最大（小）值a﹥0当abx2，abacy442最小值当hx，ky最小值a﹤0当abx2，abacy442最大值当hx，ky最大值-2-注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．4、二次函数与一元二次方程的关系对于二次函数cbxaxy2（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程02cbxax．二次函数cbxaxy2（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况：当acb42﹥0时，有两个交点；当acb42=0时，有一个交点；当acb42﹤0时，无交点.当二次函数cbxaxy2（a≠0）的图象与x轴的有交点时，其交点横坐标就是方程02cbxax的根．数学思想方法提炼数学思想方法是从数学内容中抽象概括出来的，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.因此，领悟并掌握了数学思想方法就等于拿到了解题的金钥匙.本章主要的思想方法有：1、数形结合思想：将直观的图象与数学语言结合起来，通过图象的认识、数形的转换，培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体；2、函数思想：把实际问题中的变量与变量建立一种特殊的对应关系，并结合函数图象，利用函数的性质解决实际问题；3、方程思想：充分挖掘已知量与未知量之间的数量关系，建立方程（组），然后用方程理论和解方程的方法解决问题；4、待定系数法：为了确定变量间的函数关系，先设出某些未知系数，然后根据所给条件得出系数应满足的方程或方程组，并通过解方程或方程组求出待定的系数．典型例题剖析1、基础题例1、已知抛物线经过点A（－1，0）、B（0，－3）、C（3，0）三点．（1）求抛物线的关系式；（2）若抛物线的顶点为D，求sin∠BOD的值．析解：（1）设抛物线的关系式cbxaxy2，把A（－1，0）、B（0，－3）、C（3，0）三点的坐标分别代入得cbxaxy2，得cba01ac32bcba3903c．C解之得{DE图1yAxAOBA-3-322xxy．评注：已知抛物线的图象信息，可用“待定系数法”设出其关系式，再用“方程思想”求出系数，即可得出抛物线的关系式.当然，应根据已知条件选择适当的形式．.对于这一问，同学们还有其他解法吗？试试看，相信你一定行！反过来，已知了抛物线的关系式，结合其图形，可研究它的性质．请看第二问吧！（2）过点D作DE⊥y轴于E，41311232222xxxxxy．∴抛物线的顶点D的坐标为（1，－4）.∴ED=1，OE=4．在Rt△OED中，由勾股定理得，17412222EDOEOD.∴sin∠BOD=1717171ODDE.评注：抛物线顶点D的坐标还可直接利用顶点公式求，11222ab，41423144422abac，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，－4）.2、关于二次函数与一元二次方程之间的关系例2、已知抛物线cxxy22的部分图象如图所示.，求c的取值范围；析解：根据图象可知c0，且抛物线cxxy22与x轴有两个交点，所以一元二次方程xxc220有两个不等的实数根.因此04442422ccacb，解得c1．综上所述，c0．3、二次函数的实际应用例3、为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润越大？请你为该工厂的生产提出建议．分析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润=一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．-4-解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有)]1(476)][1(210[xxy=64012882xx=1152)8(82x．当x=8时，1152最大值y．由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．（其它建议，只要合理即可．）评注：本题取材于工业生产，是一道关于二次函数的经济决策型应用题，解题时要全面考虑已知条件，找出正确的数量关系，通过建立函数模型，选择最优方案，提出合理化的建议，获得最大的经济效益，体现了数学的应用价值，并引导我们共建节约型社会．例4、“五一”黄金周的夜晚，小颖在某公园看到如图的彩灯图案．该图案的中心有一盏灯，由里相外，第二层有6盏灯，第三层有12盏灯，第四层有18盏灯，依此类推，共有10层，那么这个图案上共有盏灯．析解：本题解法很多，下面我们用函数思想来解答.探索：用x表示层数，用y表示前x层所有灯的盏数：层数x1234前x层所有灯的盏数y11+6=71+6+12=191+6+12+18=37由表中的数据观察易知，y与x不是一次函数关系，我们猜想：y与x是否为二次函数关系呢？于是试着设其关系式为cbxaxy2，再把（1，1）、（2，7）、（3，19）代入得cba13acba247，3bcba39191c．验证：当x=4时，37143432y，这与“前4层共有37盏灯”相符，这说明我们的猜想“y与x成二次函数关系”是正确的，且关系式为1332xxy（x为正整数）．应用：当x=10时，27111031032y．因此，这个图案中有271盏灯．评注：在探索过程中，我们要善于作出科学的猜想，然后作大胆的尝试，得到结论后，一定要加以验证．解之得{1332xxy．